x,y,z は x^2＋y^2＝Z^2 を満たす正の整数とする。 このとき、x,yの少なくとも一方は

x,y,z は x^2＋y^2＝Z^2 を満たす正の整数とする。
このとき、x,yの少なくとも一方は3の倍数であることを、背理法を用いて示せ。

この問題の証明 を教えてください！
よろしくお願いします

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/10/16 22:07

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

x, yがともに3の倍数でなければ
x≡±1(mod 3) ⇔ x^2≡1(mod 3)
y≡±1(mod 3) ⇔ y^2≡1(mod 3)
より、x^2＋y^2≡2(mod 3) が言えますが、
0^2≡0, 1^2≡1, 2^2≡1(mod 3) より
z^2≡2(mod 3) を満たすような整数zは存在しないので、
x, yはどちらかが3の倍数である必要があります。

有名問題すぎて証明はあちこちに載ってます。