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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
出題者が意図している(であろう)「命題」をきちんと書くと、おそらく
「任意のX,任意のYについて(
(Xは整数 かつ Yは整数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0)
)」
でしょう。この命題(「命題P」と呼ぶことにします)は
P:「任意のX,任意のYについてA(X,Y)」
という形をしています。
A(X,Y):「Xは整数 かつ Yは整数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0)」
は「自由変数(XとY)を含む論理式」あるいは「述語」と呼ばれるものです。XとYは変数であって、A(X,Y)は、XとYに具体的なナニカを代入すると初めて命題になります。
そこで、例えばX=-3かつY=2であるとすると、命題
A(-3,2):「(-3>0または2>0)ならば(-3)+2>0」
が得られます。
(1) -3は整数である
(2) 2は整数である
だから命題
B(-3,2):「-3は整数 かつ 2は整数」
は真。
(3) 2>0
だから命題
C(-3,2):「-3>0または2>0」
は真。しかし、命題
D(-3,2):「(-3)+2>0」
は偽なので、命題A(-3,2)、すなわち「C(-3,2)ならばD(-3,2)」は偽です。このように、A(X,Y)が偽になるようなX,Yの組み合わせが(ひとつでも)存在するのだから、命題
P:「任意のX,任意のYについてA(X,Y)」
は偽である。
反例は何も「X=-3かつY=2」に限ったことじゃなくて、具体的なXとYの組み合わせをひとつ挙げて(たとえばX=x, Y=y(ただしx,yは具体的な数値)としましょう)、それを代入したときに得られる命題が
命題B(x,y)は真、命題C(x,y)は真、命題C(x,y)は偽
になれば、そのx,yの組み合わせが「反例」(命題Pが偽である事を示す具体例)です。だから「X=2かつY=-3」でも反例になっています。
しかしこの問題文には不備がある。第一に、
[1] XとYが何を指しているか、範疇を明示していないのは酷いですね。例えば、
Q:「任意のX,任意のYについて(
(Xは自然数 かつ Yは自然数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0)
)」
という命題は真ですし、
R:「任意のX,任意のYについて(
(Xは負の整数 かつ Yは負の整数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0)
)」
も真。いずれも反例がありません。
問題文は「次の命題は偽である。」という文言によって、問題文の意図している「命題」がQでもRでもない、ということを推測しろとでもいうのでしょうかねえ。しかし、
[2] そもそも
「X>0またはY>0ならばX+Y>0」
は命題じゃありません。XとYが何を表すかを明示して
「(Xは整数 かつ Yは整数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0)」
としてもなおこれは命題ではなくて述語A(X,Y)ですから、「真か偽か」と問うのはまるでオカド違いです。
述語A(X,Y)は(既に説明したように)具体的にX,Yを決めれば命題になりますし、また、先頭に
「任意のX, 任意のYについて」
「Xが存在して, Yが存在して」
「任意のXについて, Yが存在して」
「Xが存在して, 任意のYについて」
「任意のYについて, Xが存在して」
「Yが存在して, 任意のXについて」
のどれか(限量子と呼びます)をくっつけても命題になります。例えば、
S:「任意のXについて, Yが存在して
((Xは整数 かつ Yは整数)ならば
((X>0またはY>0)ならばX+Y>0))」
は命題であり、真か偽かを問うことが意味を持ちます。(命題は「閉じた論理式」「自由変数を含まない論理式」とも呼ばれます。)
[3] ANo.1, 2で指摘されているとおり、問題文に括弧が付いていないのもまずい。「X>0または(Y>0ならばX+Y>0)」と読むこともできるから、解釈が定まらないのです。
[4] 解答もよろしくない。[3]のように括弧を付けて読んで、さらに記述の不足を補って、例えば命題
T:「任意のX,任意のYについて(
(Xは整数 かつ Yは整数)ならば
(X>0または(Y>0ならばX+Y>0))
)」
を考えたとすると、Tは偽である。なぜならX=-3、Y=2は反例です。これが反例になっているのは、
「2>0」は真であるが、
「(-3)+2>0」は偽であるから、
「2>0ならば(-3)+2>0」は偽である。そして、
「-3>0」は偽である。だから、
「-3>0または(2>0ならば(-3)+2>0)」は偽である。そして、
「-3は整数 かつ 2は整数」は真である。
だから「(-3は整数 かつ 2は整数)ならば(-3>0または(2>0ならば(-3)+2>0))」は偽である。反例が存在するから、Tは偽である。
つまり、ややこしいことに、問題文を「X>0または(Y>0ならばX+Y>0)」と読んだ場合でも、解答にある「X=-3、Y=2」が反例になっている。(しかし、X=2、Y=-3 は命題Pの反例であるが、命題Tの反例ではありません。)だから、出題者がどっちの読み方をさせようとしたのか、解答を見てもまだ決まらない。
これらの理由で、この問題文および解答は甚だ不適切です。せっかく理解しかけている学習者を混乱させてしまいそうな、大変出来の悪い問題であり、出題者のセンスのなさってか馬(以下略)
No.2
- 回答日時:
● ANo.1 において、かっこを用いるように私はすすめました。
そのかっこの用いかたに、先入観がはたらいてしまったようです。ごめんなさい。次のようなかっこの用いかたも考えられます。
X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )
● 上記のようなかっこの用いかたがなされたときも、やはり偽になるのではないかと私は思います。
( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) という命題を考えるとき、Y = 2 ですから Y > 0 を満たします (真)。そして、X = -3, Y = 2 ですから、X + Y = -1 となり、X + Y > 0 を満たしません (偽)。ですから、この場合、( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) という命題は偽になると、私は思います。
( X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )) という命題を考えるとき、X = -3 ですから X > 0 を満たしません (偽)。そして、上記の結果より、( Y > 0 ならば X + Y > 0 ) は偽です。ですから、( X > 0 または ( Y > 0 ならば X + Y > 0 )) という命題は偽になると、私は思います。
No.1
- 回答日時:
● まず、命題の示されかたがよくないかもしれません。
例えば、次のようにかっこなどを用いたほうがよいのではないかと、私は思います。( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0
● ( A または B ) という命題は、A と B の両方もしくはどちらか一方が真であれば、真になります。( A または B ) という命題は、A と B の両方が偽のときにだけ、偽になります。
そこで、( X > 0 または Y > 0 ) という命題の真偽について考えましょう。X = -3 は X > 0 を満たしません (偽)。Y = 2 は X > 0 を満たします (真)。ですから、この場合、( X > 0 または Y > 0 ) という命題は真になるのではないでしょうか。
● ( A ならば B ) という命題は、A が真であり、なおかつ B が偽であるときのみ偽になります。そのほかのときはすべて真になります。
そこで、(( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0 ) という命題について考えましょう。上記の結果より、( X > 0 または Y > 0 ) は真です。そして、X = -3, Y = 2 であるとき、X + Y = -1 となりますから、X + Y > 0 を満たしません (偽)。ですから、この場合、(( X > 0 または Y > 0 ) ならば X + Y > 0 ) という命題は偽になるのではないでしょうか。
● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。
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