またまた極限。

中心間キョリが２aでともに半径ｒの円がありその内部をそれぞれＣ1とＣ2で表す円があります。
Ｃ1とＣ2の和集合Ｃ1∪Ｃ2からＣ1とＣ2のの共通部分Ｃ1∩Ｃ2を除いてできる図形の面積をＳ(ｒ)とする。
このときlim[r→∞]S(r)/rを求める問題です。

０に近づくのだろうと予想はしていますが、Ｓ(ｒ)がどうしても表せません。

No.9 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2003/06/08 01:55

#5の者です。

既に#7の方が補足して下さった（ojamanboさんありがとうごさいます）のですが，直接#5に質問された件をお答えしておきます。

>lim[r→∞]S(r)/r =lim[θ→π/2](2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)
>でよいのですね？

lim[θ→π/2] を lim[θ→π/2-0] と直せばOKです。

>ｒ→∞⇔θ→π/2は何の断りも無く使っていいものでしょうか？

これは，正確には
θ→π/2-0 ⇒cos θ→+0 ⇔ r→+∞
ですが，極限としては
lim[r→∞]S(r)/r =lim[θ→π/2-0](2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)
とよいことになります。その細かい所も説明する方が望ましいのでしょうが，試験場では断りなしでよいでしょう。

>どこから8aが出てきたのでしょうか？

(π/2)-θ=t とおくと
S(r)/r = 2r(π-2θ+sin 2θ)
= 2(a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)
= 2(a/sin t){2t+sin(π-2t)}
= 2(a/sin t)(2t+sin 2t)
= 2(a/sin t)(2t+2sin t cos t)
= 4a{(t/sint)+cos t}
でいかがでしょう？


>初めて回答していただきますね。（多分）

解答している最中に締め切られたことがあるので，初めての気がしないなぁ。（笑)

この回答へのお礼

またまたどうもありがとうございます。

＞解答している最中に締め切られたことがあるので，初めての気がしないなぁ。（笑)

あらら。そんなことが御ありでしたか。（前の質問かな）
やっぱ締め切るのが早いとだめなのかな？
自分で解決しちゃうと即締め切る癖がついていて。

お礼日時：2003/06/08 10:09

No.8 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/06/07 22:46

答えは出ているようですが、ちょっと意地になってみます。

問題の図形は


□□□□□□■■■■□□□□□□■■■■□□□□□□□
□□□□■■■■■■■■□□■■■■■■■■□□□□□
□□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□
□□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□
□□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□
□□□□■■■■■■■■□□■■■■■■■■□□□□□
□□□□□□■■■■□□□□□□■■■■□□□□□□□

で、
上と下を切り落とすと


□□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□
□□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
■■■■■■■■■■□□□□□□■■■■■■■■■■□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□■■■■■■■■■■□□□□■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■□□■■■■■■■■■■□□□
□□□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□□□□

となり、その片方


■■■■■■■■■■□□□□
□■■■■■■■■■■□□□
□□■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■□□
□□□■■■■■■■■■■□
□□□■■■■■■■■■■□
□□□■■■■■■■■■■□
□□□■■■■■■■■■■□
□□■■■■■■■■■■□□
□□■■■■■■■■■■□□
□■■■■■■■■■■□□□
■■■■■■■■■■□□□□

の面積は、高さ2R、幅2aの長方形


■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■


に等しい、ということです。

この回答へのお礼

おおおおお！！！
すごい！ネットの限界を超えましたね！
これを見てようやく納得できました。
わざわざありがとうございます。

お礼日時：2003/06/07 23:11

No.7 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/07 22:37

＃３です。

計算として＃５の方の答でよさそうで納得しました。

私がθとしたところを２θとしてみえます。そのほうが
計算もわかりやすそうです。
ｒをθで表して変数を１つにする。

(2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)
前の（）が∞、後ろのカッコが０に近づくので∞*0の不定形です。

(π/2)-θ = t と置きかえれば
後は２倍角の公式とか

(2a/sint）(2t+sin2t)=2a(2t/sint+2sintcost/sint)
ｔ→０のときsint/t→１だから当然　t/sint→１
などを使えば極限値が求まります。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました。
今度こそ納得です。

お礼日時：2003/06/07 23:02

No.6 回答者： mmky 回答日時： 2003/06/07 22:35

ちょっと気になったところがありましたので参考程度に

(x-2a)＾2+y＾2=r＾2
x＾2-4ax+4a＾2+y＾2=r＾2
x＾2+y＾2=r＾2　ゆえ、-4ax+4a＾2=0, x=a
そこで、x＾2+y＾2=r＾2　の第一象限の1/4　の円を
考えてみますね。
x=a, y=√(r＾2-a＾2) だから角度θは、
tanθ=√(r＾2-a＾2)/a=(r/a)√(1-(a/r)＾2)
ですからθ=arctan{(r/a)√(1-(a/r)＾2)}
ｒ→∞,(a/r)→0,(r/a)→∞　
θ=arctan(∞)=π/2　に近づきますね。
扇型の面積は、(1/2)r＾2*θ
三角形(0,a,y)の面積は、
(1/2)a*√(r＾2-a＾2)=(1/2)ar√(1-(a/r)＾2)
r→∞,
=(1/2)ar
扇型の面積－三角形の面積＝(1/2)r＾2*(π/2)-(1/2)ar
対称性も含めるとこの4倍が共通の面積だから
r→∞{πr＾2-2ar}
円2個分の全体の面積は2πr＾2
共通以外の面積S(r)は全体から2個分の共通面積を引いたものだから、
S(r)=2πr＾2-2*{πr＾2-2ar}=4ar
lim[r→∞]S(r)/r=4a
考えがあっていればこんな感じになるんですがね。
どこか係数がちがうかな？参考程度に

No.5 回答者： waseda2003 回答日時： 2003/06/07 20:56

C1:x^2+y^2≦r^2，C2:(x-2a)^2+y^2≦r^2

とすると，

D1：x^2+y^2≧r^2，(x-2a)^2+y^2≦r^2
または
D2：x^2+y^2≦r^2，(x-2a)^2+y^2≧r^2

の面積がS(r)で，D1とD2はx=aについて対称（特に面積が等しい）ですから，D1の面積をT(r)とするとS(r)=2T(r)。

(a，√(r^2-a^2))～(0，0)～(a，-√(r^2-a^2))でできる角を２θとおくと，

T(r)=(1/2)*r^2*(2π-2θ)+r^2*sin 2θ -(1/2)*r^2*2θ
= r^2(π-2θ+sin 2θ)

また，cos θ = a/r ですから，

S(r)/r = 2r(π-2θ+sin 2θ)
= (2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)

となります。
あとは，(π/2)-θ = t と置きかえれば，t→+0のときの極限となるので，ふつうの三角関数の極限の問題です。 lim[r→∞]S(r)/r = 8a になると思います。

P.S. 先の質問で，「原点の近くでy軸が漸近線」となっていましたが，「原点に限りなく近づくが原点は含まない」の誤りですよね？ 締め切られてしまったので，回答しようがありませんが・・・。

この回答への補足

そのとおりです。
そのことを書こうと思ったのですが私しの頓珍漢な説明で・・・
でも答えはわかりました。
心遣いに感謝いたします。

補足日時：2003/06/07 21:08

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。初めて回答していただきますね。（多分）
S(r)/r = 2r(π-2θ+sin 2θ)
= (2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)

lim[r→∞]S(r)/r =lim[θ→π/2](2a/cos θ)(π-2θ+sin 2θ)
でよいのですね？
そうすると
lim[θ→π/2](π-2θ+sin 2θ)＝０
になりません？どこから8aが出てきたのでしょうか？

PS
ｒ→∞⇔θ→π/2は何の断りも無く使っていいものでしょうか？

お礼日時：2003/06/07 21:44

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/07 20:55

＃３です。

極限は０だろうと言ってしまったのですが、このやり方では
Ｓ(r)/r　でｒが残るので∞*0の形ができるため
簡単に極限が０と言ってはいけないのかも。
ちょっと不安が残りました。

No.3 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/07 20:45

交わりの面積がわかればできるでしょう。

それは扇形から三角形の面積を引けばよい。（その２つ分）

中心角がθの扇形の面積は(1/2)(r^2)θ
三角形の面積は(1/2)r^2sinθ

Ｓ(r)＝２[(πr^2)－{(1/2)(r^2)θ－(1/2)r^2sinθ}]
　　　　　－２{(1/2)(r^2)θ－(1/2)r^2sinθ}

整理すればもっと簡単になると思いますがそれはお任せして

後はｒ→∞のときθ→π
なので求める極限は０で良いだろうと思います。

この回答へのお礼

なるほど。わかりました。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2003/06/07 21:07

No.2 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/06/07 20:45

>どの図形でしょうか？○が二つかさなってできたとこ？

そう。C1とC2の中心のy座標が0だとすると、
「和集合から共通部分を除いてできる図形」は、
タラコ唇を横にしたような形になりますね。

それで、上にある交点より上の部分と、
下にある交点より下の部分を除くと、
幅2a高さ2Rの長方形を、円周に沿わせてぎゅーっと平行に曲げた形になります。
平行に曲げているから面積は同じ…まあこれも
証明しないといけないのですが。

この回答への補足

？？？
わからないですー。ネット上ではこれが限界か？
それは何か定理かなにかですか？
言葉がわかれば自分で検索いたしますが。

補足日時：2003/06/07 21:45

No.1 回答者： liar_adan 回答日時： 2003/06/07 19:42

S(r)は積分しないとわからないと思いますが…

(可能かどうかもわからないけど)

C1とC2を描くと、交点が二つできますね。
交点間の距離を2R(R<r)と表すと、
S(r)の面積は
2×2a×2R ≦ S(r) ≦ 2×2a×2r
となります。
何でかって言うと…口で(文字でだろ)説明するのがすごく難しいのですが、
図を書いて、その図形を横線で塗りつぶしてください。
わかると思います。

で、Rは比率としてrに近づくと思います。

＃この説明でわかるかなあ…。

この回答へのお礼

はさみうちですか？わすれてた！
最初Ｓ(ｒ)を求めようとして積分してみたら高校生レベルを超えていたので、挫折。

でも2×2a×2R ≦ S(r) ≦ 2×2a×2r がわかりません。（この説明でわかりませんでした。いや、すいません）
＞図を書いて、その図形を・・・

どの図形でしょうか？○が二つかさなってできたとこ？
＞Rは比率としてrに近づくと思います。
これはわかりましたぞ。

お礼日時：2003/06/07 20:01