【数学】大学入試問題【証明】

いつもお世話になっています。
添付した問題について教えていただきたいです。
(1)については最初の方を展開して数列にして証明を進めていけばいいと考えましたがどういう数列になるかわかりません。
(2)については展開して考えるのは無理なので他に考え方があるのだと思いますがわかりません。
どなたか教えて下さい。
お願いします。

No.2 回答者： noname#108210 回答日時： 2010/02/20 21:11

一度経験すれば、次からは何とかなる類の問題。

誘導なら（２）から（１）ですが‥‥。

(1)
{(1+t)^n}×{(1+t)^n}=(1+t)^(2n)　の展開式を利用します。
左辺の　t^n　の係数は
nC0×nCn+nC1×nC(n-1)+nC2×nC(n-2)+…+nCn×nC0
={nC0}^2+{nC1}^2+{nC2}^2+…+{nCn}^2

一方，右辺を展開したときのt^nの係数は，(2n)Cn
これから，
{nC0}^2+{nC1}^2+{nC2}^2+…+{nCn}^2＝(2n)Cn


(2)
Σ[i=0,n]ai・x^iΣ[j=0,n]aj・x^(n-j)
=ΣΣ[i=0,n][j=0,n]ai・aj x^(n+i-j)

上式で，x^n　の係数を調べます。n+i-j=n　とおくと，i-j=0
したがって，
x^n　の係数は，
ΣΣ[i=j]ai・aj
=(a0)^2+(a1)^2+(a2)^2+…+(an)^2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/20 20:57

なんじゃこりゃ. (2) が (1) のヒントか....

(2) は素直に計算するだけ. 「x^n の係数」だけ考えればいいので, そんなに難しくないはず.
(1) はそこから出てくる.