四面体ABCDで、AB=BC=CD=DA=1である。
この体積の最大値を求めよ。
つぎのような方針で考えましたが、簡単な別解があったら
紹介してもらえないでしょうか。
BDの中点をMとして、四面体AMCDの体積最大をもとめる。
AM=a とおくと、DM=√(1-a^2)
AC=2kとおくと、
四面体AMCDの体積の3倍は、
k√(a^2-k^2)√(1-a^2)
となる。kを固定して、a^2=xの関数とみて、最大値をもとめよ。
つぎに、k^2=tの関数とみて、最大値をもとめる。
このような流れで考えました。
先ずは、この流れで間違っていないのか。また、別解を紹介してください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この四面体はひし形ABCD を対角線BD で適当に折り曲げた形になるので, 2平面ABD, BCD が垂直のときに体積は最大. そしてその値は AM=a で決まる.
かな.
ありがとうございます。
2平面ABD, BCD が垂直のときに体積は最大. そしてその値は AM=a で決まる.この意味を図で考えて、なんとなくわかりました。
垂直な面の片方を底面と考えて、三角すい(ちょっと変わった立体)の体積をaで表せばよいのか。底面に平行に切断した三角形は相似だから、底面積×高さ÷3の公式が使える。
よって、体積は1/3×a×a×√(1-a^2)で、
最大になるaは、√のなかに入れて、微分で、・・・・
ずいぶん計算が楽になりました。
No.2
- 回答日時:
こんにちわ。
三角形ABDと三角形CBDは、ともに底辺を BDとする二等辺三角形になります。
ちょうど、「くちばしのようについている 2つの二等辺三角形」の付け根が辺BDになっている感じです。
口が大きく開いているとき(垂直になっているとき)に体積は最大になります。
あとは、口の「すぼめ具合(辺BDの長さ)」によって体積が決まります。
・口をすぼめれば、高さは稼げますが、底面積が小さくなり、
・口を大きく開けば、底面積は大きくなりますが、高さが低くなります。
この間をうまくとる値を計算で求めることになります。
ありがとうございます。
ずいぶん参考になりました。垂直の条件のときに
最大になることが分かるだけで、計算が楽になります。
立体を2等分にした私の考え方が、そもそも間違っていました。
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