切り口の半径がともにaの2つの直円柱が、その中心軸が互いに垂直に なるように交わっているとき、この2

切り口の半径がともにaの2つの直円柱が、その中心軸が互いに垂直に なるように交わっているとき、この2つの直円柱の共通部分の体積を求め よ。ただし、直円柱の高さはいずれも2aより大きいものとする
という問題で下のような解答があったのですがどういう意味ですか？上の二つの円の部分からよくわかりません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/04 12:20

質問文では「解答」と呼んでいるが...

まず前提として、写真に切り取った部分は別解で、
しかも模範解答よりやりにくい解き方だって
文章の冒頭部分に書いてあるよね。

立体図形の把握が難しいなら、模範解答のほうの解法
を参考にしてどんな形か理解してから、別解のほうを
読むといいんじゃなかろうか。わかりやすい断面図を
たどることは、立体の把握に役立つ。

あくまで別解の断面図から立体図形を理解したいというなら、
その方法での断面図をていねいに描いてゆくといい。
円柱の共通部分は、連立不等式
x^2 + z^2 ≦ a^2 かつ y^2 + z^2 ≦ a^2 で表される。
これを y = t で切った断面は
x^2 + z^2 ≦ a^2 かつ z^2 ≦ a^2 - t^2 と書ける。
右側の不等式は、|t| ≦ a のとき |z| ≦ √(a^2 - t^2),
|t| > a のときは満たす実数 z が存在しない。

写真の上方に２つ並んだ円のうち、右の図は、
|t| ≦ a での断面 x^2 + z^2 ≦ a^2 かつ|z| ≦ √(a^2 - t^2)
を表しているのだと思う。赤鉛筆の部分が立体の断面だ。
...って、君が塗ったんでしょう？ 実は解っているじゃないの。

左の図は、やや意味不明だが、y = t で立体を切るよ
という話がしたいだけかな？
むしろ書かないほうが話が解りやすかったかも。

２つの円の右下にある円の図も、意図不明。
立体を把握するためにも、体積を計算するためにも、
この図は必要ない。

参考書がこの別解をわざわざ載せた意図は、
この解法を理解しろっていうことよりも、
断面の切り方を工夫しないと(解けないことはないけれど)
計算の手間がぜんぜん違ってくるよ...
という話を伝えたかっただけと思う。末尾にそう書いてある。
ここは「へー」って流し読めばいいとこなのでは？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/03 10:08

問題が言う「共通部分」の格好がイメージできないために難渋なさってるのかも。

もしそうなら、視点を変えてみても良いでしょう。
　添付図↓の右図に示す緑色の「下手くそに切ったカマボコ」みたいなパーツを8つ集めると、左図ができる。だから（円柱2本の体積）-（カマボコ8つの体積）を計算すれば、それが「共通部分」の体積である。という風に考えてはいかがでしょう。
　で、カマボコの体積はどう計算するか。たとえば、右図のカマボコを青の線に垂直な平面でカットすると台形が現れる。その面積を青の線の方向に沿って積分すればいいでしょう。
　結局、やる計算はおんなじことなんですけどね。