下の問題では漸化式の形から≠0は明らかとなっていますが、上の問題ではなぜわざわざ証明しないといけない

下の問題では漸化式の形から≠0は明らかとなっていますが、上の問題ではなぜわざわざ証明しないといけないのでしょうか。

No.5 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/08/08 15:38

出題者と採点者が違うときのために念のため「漸化式の形から≠0は明らか」　と書いておく

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/08 10:40

逆数をとるときは必ず≠0を証明しなければいけません

下の問題では

P(n)=[a(n)>0]
とすると

P(1)=[a(1)=1>0]は真

ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
a(n)>0
3a(n)>0
6a(n)+1>0
だから
a(n+1)=3a(n)/(6a(n)+1)>0
だから
P(n+1)=[a(n+1)>0]も真だから
すべての自然数nに対してP(n)が真だから
a(n)>0
a(n)は正
と(数学的帰納法によっていえる)けれども

上の問題では

a(1)>0だからといって
4a(1)-1>0 だとはいえない

a(1)=1/5
だから
4a(1)-1=4/5-1=-1/5<0

a(2)=a(1)/(4a(1)-1)=-1<0
a(2)は負だから
a(n)の各項は正であるとはかぎらないから

≠0であることを証明しなければならない

No.3 回答者： ヤフーを捨てた男 回答日時： 2024/08/08 10:14

引き算のありなしによります

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/08 10:07

「逆数をとる」の前に「0でない」は必ず書かなければいけない。

これを書かないのは、大量減点のおそれがある。

ただし、その理由を上の解答例のように細かく正確に証明する
必要があるか？は疑問で、下の解答例程度のラフな説明でも
許してもらえる可能性は高い。
試験中に時間がないのは、お互い解っていることだから。

外してはならないのは、「0でない」ことを気にしてから
逆数をとったよ... というエクスキューズを何らかの形で
答案に含めておくこと。無論、試験時間に余裕があるのならば、
上の例のように証明しておけば安心ではある。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/08 09:35

上のようにすれば簡単に証明できるから、紙面がもったいないので省略したのでしょう。

（著者は「本当は書かないといけませんが省略しましたよ」と明示する意味で、その右の注記を書いています）

各々のテストの回答では、必ず書いた方がよいでしょう。