1＝0.999999...って...

1＝0.999999...って...

1＝0.999999....って成り立っていると思いますか？1/9は0.11111.....なので、
9/9は0.999999....ということになります。
9/9は1/1と等しいので9/9は1と等しいです。これにより1＝0.99999....ということが証明できます。
しかし、そもそも9/9＝0.99999...は成り立っていないという理由から、1＝0.9999...が成り立っていないと証明することもできるようです。これってどちらが正しいですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： tent-m8 回答日時： 2010/03/11 22:09

一応、成り立っていることのようです。

次のようなサイトを見つけました。
ご参考まで。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/03/12 19:09

No.9 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2010/03/12 10:33

この手の問題を理解するためには、１０進法というかｎ進法を理解する必要があります。

なかなか９の倍数のｎ進法がないので、1/3X3で考えてみます。

1/3=0.3333333.....
なので、
0.33333......X3=0.999999......
ですね。
ところが、例えばこれが
1/3時間X3だとすると・・・・
1/3時間=20分
20分X3=60分=1時間
です。
他にも
1foot=12inch
なので、
1/3footX3=4inchX3=12inch=1foot
です。

要は１０進法では１／９が割り切れないというだけのことです。
もしも、９進法で考えれば、
1/10=0.1
0.1X10=1
と表されるだけです。

No.8 回答者： Ichitsubo 回答日時： 2010/03/11 22:51

#1Tacosanさんへの補足中でwWindows7さんが「...は同じ数が無限に続くという意味」と定義されましたので、

厳密に
1=9/9=0.999...
であり、

厳密に
1/9=0.111...
です。

#2,3さんは誤り(もしくは語弊がある)と言うことになりますね。
0.999...は無限に1に近くなる、ではなく、
0.999...と1とは寸分違わぬ全く同一の値を指す表記法です。
この手の質問では、必ず1と0.999...は同じではないという回答をなさる方が現れてしまいますので、#2,3さんもお気になさらず。

No.7 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/03/11 22:18

この問題・・・ほんと頻繁にでてくるな

そして，かならず「等しくない」とかいう
わけの分からない答えもでてくる．

まず，実数aが0であることと
任意の正の数εに対して|a|<εとなることは同値
これは直感的には明らか．
証明は・・・厳密にするならそれなりに煩雑．

次に二つの実数aとbが等しいとは
a-b=0となること
したがって，二つの実数aとbが等しいことは
任意の正の数εに対して|a-b|<εとなることと同値．

ここまでやれば
1と0.9999.....が等しいことは見えるでしょう
どこまでも9が続くってことは
引き算した「結果」がどんな正の数よりも小さいのだから．

>No.3
>無限につづくと言うことは、
>答えが出ていないと言うことだと思います。
「ずっと9で終わらない」ってことがすなわち「1になる」ってことで
小数表記したときに無限に続くことと
その数が確定するってことはまったくの別問題．
円周率π，√2はどうなるでしょう？
ちなみに「小数表記して無限に続く終わりのない数」の方が
「終わりのある数」よりも標語的には「∞倍」存在し，
さらに「小数表記して無限に続く終わりのない数」の中で
「小数表記に現れる数に規則性がある数」よりも
「小数表記に現れる数に一切の規則性がない数」の方が
これまた標語的に「∞倍」存在します．
＃実は更に「規則性がない数」の中には
＃更に複雑な数があって実はその方が「複雑ではない方」より
＃更に「∞倍」ある

数学的にきちんとやるんだったら
「無限に続く」っていうことをきちんと定めないといけないけど，
高校生程度の知識で可能です
（無限等比級数を使うのが一番簡単）
＃0.999.....とはΣ_{n=1}^∞ 9(1/10)^nのことであり
＃0.111.....とはΣ_{n=1}^∞ (1/10)^nのことであるということ

>9/9＝0.99999...は成り立っていないという理由から、1＝0.9999...が成り立っていないと証明することもできるようです
「誤った命題からは任意の命題が導ける」という
恐ろしい定理があるので，これには意味がありません．

No.5 回答者： onigiri_3 回答日時： 2010/03/11 21:41

たとえば、分数を知らない小学生がいたとする。

その小学生は、今、1÷3を計算しようする。
すると小学生は、小学３年生の頃学習した、筆算を駆使して、計算しようとする。
しかし、計算結果は、0.3333333・・・・となり、
わりきれないと、なげくだろう。

そこで、頭のいい先人が、1÷3を0.33333・・・と記述するのは、面倒なので、
1÷3は、わりきれないから、1/3を表せば、記述するのが楽になる。

　　1÷3 = 0.33333333・・・

は、「真」であるとすれば、両辺３倍すると、

　　1 = 0.999999・・・

逆に、1 ≠ 0.99999・・・　であれば、

　　両辺3で割れば、

　　1/3 ≠ 0.333333・・・

つまり、1/3の筆算が、0.33333・・・　ではなくなることになる。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2010/03/11 21:28

先日も同じような質問がありましたね。

>しかし、そもそも9/9＝0.99999...は成り立っていないという理由から、1＝0.9999...が成り立っていないと証明することもできる

これは誤りです。
前半部分、
[9/9＝0.99999...は成り立っていない]
というのは「 9/9=1であって 0.999... ではない」というのが根拠なのでしょう。
しかし「1≠0.999...」を証明するのに「1≠0.999...」を事実として利用しています。
「1≠0.999...」ゆえに「1≠0.999...」である、と
ようするに、この証明は「何も証明していない」のです。

>1/9は0.11111.....なので、
>9/9は0.999999....ということになります。
>9/9は1/1と等しいので9/9は1と等しいです。
>これにより1＝0.99999....ということが証明できます

こちらは
[ a = b, c ≠ 0 ]ならば[ a × c = b × c ]
という法則を利用して
a=1/9, b=0.111... , c=9
として
9/9 = 0.999....
1=0.999...
を求めたものなので、証明として正しい、ということになります。


数学が扱う無限の世界と、人間の実生活で感じるの世界とは分けて考える必要があります。
数学で =1 だったら、誤差はまったくない1です。
1/9=0.1111..... であって、途中で計算をやめた 0.111111 は(≒0.111...ですが)=0.111...ではありません。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5706224.html

No.3 回答者： hidechan2004 回答日時： 2010/03/11 19:58

個人的には、1/9＝0.11111.....は成り立っていないと考えます。

無限につづくと言うことは、答えが出ていないと言うことだと思います。

実際に、筆算で1÷9をやってみてください。
0.1111.....と続きますが、終わりませんよね？

ですから、厳密に言えば、1/9≒0.11111.....だと思います。
従って、1≒0.999999...

No.2 回答者： papabeatles 回答日時： 2010/03/11 19:23

　数学でなく、現実的な話しでは１ｍの物差しが本当に１ｍなのって話しだと思います。

学校で使っているような物差しだと０．０１％ぐらいの誤差は認められていると思います。
　０．９９９９を無限に考えていくと限りなく１に近づいていくと思います。

この回答へのお礼

なるほど。
０．９だったら誤差は０．１。
０．９９だったら誤差は０．０１。
０．９９９だったら誤差は０．００１。
という風に考えていけばいつしかその誤差は原子を超える小ささになるという事ですね。

いくら学校で採用されている物差しでも、０．０１％の誤差は認められている。
数学的にはどんな誤差でも1と0.999999....は違う数字ですが、現実的にそのような誤差は気にならないんですね。

現実的な思考でいこうとは思いませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/03/11 19:45

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/03/11 19:21

数学的な議論をするためには,

「1＝0.999999....」
における「....」の意味をきちんと与える必要があります.
ということで, この「....」の意味を書いてください.
ちなみに標準的な解釈では
1＝0.999999....
です.

この回答への補足

0.9999.....の.....は、このまま9が無限に続くという意味です。

補足日時：2010/03/11 19:37