No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#1、3です
基本行列は3つ性質をもつ行列で、左からかけた場合
(1)i行目をα≠0倍する
(2)i行目とj行目を入れ替える
(3)i行目をβ倍した行をj行目に加える
となる行列のことです。
たとえば、3次の行列
{a,b,c}
{d,e,f}
{g,h,i}
に対し
(1)
{1,0,0}
{0,1,0}
{0,0,4}
を掛けると
{a ,b ,c }
{d ,e ,f }
{4g,4h,4i}
になり、3行目が4倍されます。
1行目、2行目も同様です
次に
(2)
{0,0,1}
{0,1,0}
{1,0,0}
を掛けると
{g,h,i}
{d,e,f}
{a,b,c}
のように、1行目と3行目が入れ替わります。
最後に
(3)
{1,0,0}
{2,1,0}
{0,0,1}
をかけると
{a ,b ,c }
{d+2a,e+2b,g+2c}
{g ,h ,i }
になります。
基本行列はみな行列式が0でなく正則な行列で、ガウスの消去法における各ステップの操作を表しています。
No.3
- 回答日時:
回答者1です。
すいません、間違えていました。修正します
Ax = 0
において、基本行列をいくつか使用し
E_(1)E_(2)…E_(n)A = K
によりAを上三角行列Kに変換する。
この上三角行列Kは、det(A) = 0のため
rank(A) = rank(K) ≠ 正方行列の次数n
となり、対角要素の一番最後a_(nn)を0とすることができる。
したがって、ベクトルxのx_(n)成分に対し
a_(nn)x_(n) = 0
が成り立ち、a_(nn) = 0のためx_(n) ≠ 0とすることができるので
x ≠ 0
とすることができる。
3次の行列で例をとると
{1,a,b}{x} = 0
{0,1,c}{y} = 0
{0,0,0}{z} = 0
みたいにできるから、x ≠ 0ができるということです。
汚い証明しか思いつかずすいません。
No.2
- 回答日時:
おはようございます。
高校生でしょうか?大学生でしょうか?
大学生で、線型代数を学んでいるなら、少し参考になるかもしれませんので、アドバイスとして回答します。
n次正方行列Aについて、以下の2つは必要十分条件になっています。
detA≠0・・・(1)
rankA=n・・・(2)
このことを用いると、
連立斉次1次方程式Ax=0が自明な解以外の解を持つ必要十分条件は、rankA≠nが成り立つことと言い換えることができます。
rankは,行列Aを“掃きだしたときに”,Aの対角成分に並ぶ0でない数の個数のことです。“履きだす”というのは,高校生は“履き出し法”として,大学では“基本変形”として学ぶと思います。
ことばで書くと分かりづらいですので、具体例で考えてみます。
例えば、
行列
(1 3)・・・第1行
(2 7)・・・第2行
について、第2行-第1行×2を施すと
(1 3)・・・第1行
(0 1)・・・第2行-第1行×2
となるので、この行列の階数は2となります。
対角成分がともに1だから、0でないですよね。
因みに,はじめの行列の行列式を計算すると,
1*7-3*2=1≠0
で(1)と(2)の関係が確かめられます。
また、連立方程式
a+3b=0
2a+7b=0
は、a=b=0ですね。
次に行列
(1 3)・・・第1行
(2 6)・・・第2行
について考えてみます。
この行列の場合、第2行-第1行×2を施すと
(1 3)・・・第1行
(0 0)・・・第2行-第1行×2
となるので、この行列の階数は1となります。
対角成分が2行目では0になっていますね。
また、はじめの行列の行列式を計算すると,
1*6-3*2=0
連立方程式
a+3b=0
2a+6b=0
は、無数に解を持ちます。
このように,連立方程式とdetだけでなく,
rankを介すると理解し易いと思います。
No.1
- 回答日時:
成分が実数であると仮定して証明します。
x≠0として、Ax = 0の両辺に転置をとると
T(x) × T(A) = 0
※T(…)は転置
この式に左からAx = 0をかければ
A(x^2)T(A) = (x^2)AT(A) = 0
x^2≠0より
AT(A) = 0
この式の両辺に行列式をとり、転置行列の行列式はもとの行列の行列式と同じことを使えば
{det(A)}^2 = 0
∴det(A)= 0
※ 複素行列の場合、転置の代わりにエルミート共役にすればOKです
この回答への補足
T(x)×T(A)に左からAxをかけると
A(x^2)T(A)になるところが分かりません。
x×T(x)がx^2になるになるのが良く分かりません。
x^2はxとxの内積のことでしょうか?
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