No.3ベストアンサー
- 回答日時:
jet-ninjin321さん、こんにちは。
>An=4An-1-4An-2-1 というものなのですが
>An-2An-1-1=2(An-1-An-2-1)と
変形してみてBnと置いたのですが
変形の仕方は、それでOKだと思います。
Anのことを、a[n]と書くことにしますね。
問題は、a[n]=4a[n-1]-4a[n-2]-1
変形して、
a[n]-2a[n-1]-1=2{a[n-1]-2a[n-2]-1}
=2*2{a[n-2]-2a[n-3]-1}
=・・・・=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}
のようになるはずですね。
a[n]-2a[n-1]-1=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}
a[n]-2a[n-1]=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}+1
この両辺を、2^nで割ってみましょう。
a[n]/2^n-a[n-1]/2^(n-1)=(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}+1/2^n
ここで、a[n]/2^n=b[n]とおく。←数列{a[n]}を2^nで割った数列
すると、
b[n]-b[n-1]=(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}+1/2^n
↑
ここの部分は長ったらしいので、定数Cとしますね。
(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}=Cと仮におきましょう。
すると、
b[n]-b[n-1]=C+1/2^n
b[n-1]-b[n-2]=C+1/2^(n-1)
・・・・・・・
b[2]-b[1]=C+1/2^2
---------------------------上から下まで辺辺足すと
b[n]-b[1]=C*(n-1)+1/2^2+1/2^3+・・・+1/2^n
↑
ここの部分は、初項1/4公比1/2の等比数列(n-1)項分の和
b[n]-b[1]=(n-1)C+(1/4){1-(1/2)^(n-1)}/{1-(1/2)}
=(n-1)C+(1/2){1-(1/2)^(n-1)}
また、b[1]=a[1]/2であったから、
b[n]=(n-1)C+1/2-(1/2)^n+a[1]/2
このことと、c=(1/4){a[2]-2a[1]-1}
と、おいたことから、計算できると思います。
頑張ってください!!
No.4
- 回答日時:
明日ちゃんと自分の手で解いてみたい:
既にNo.2とNo.3で回答がでてしまったので自分で解くのなら理解を確実にするために新しい問題を提示しましょう。
問題:
a[n]-7a[n-1]+18a[n-2]-20a[n-3]+8a[n-4]=1
の一般解を求めよ。
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