tanz/(z-π/2)=-1/(z-π/2)^2+Σ[n]an
と置けるのは何故ですか?
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はh(z)/(z-π/2)^(n+2)と表せて
tan(z)/(z-π/2)=h(z)/(z-π/2)^2と出来ますが、
なぜtanz/(z-π/2)=-1/(z-π/2)^2+Σ[n]anとも出来るかがわかりません。
Σ[n]anのnは0〜nを表しているのでしょうか?
なぜΣ[n]anの0〜nの中でn=2だけ別に
-1/(z-π/2)^2と書かれたのかが特にわかりません。
どうかよろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> n = -2だけ特別扱いさる理由をもう少しわかりやすく教えて頂けないでしょうか?
No.1 に書いたけどな...
(tan z)/(z - π/2) は π/2 に位数 2 の極を持つので、
π/2 を中心としたローラン展開は
(tan z)/(z - π/2) = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^(k-2)
の形となる。これを
(tan z)/(z - π/2) = Σ[n=-2→∞] (a_n)(x - π/2)^n
と書いてもいいし、
(tan z)/(z - π/2) = (a_{-2})/(z - π/2)^2 + (a_{-1})/(z - π/2) +Σ[n=0→∞] (a_n)(x - π/2)^n ←[2]
と書いてもいい。
[2] の式形では、n = -2 と n = -1 が特別扱いされているが、
この 2項がこのローラン展開の主要部であって、
n=0→∞ の Σ が正則部分になっている。
「n = -2だけ」が特別扱いされているように見えるのは、
たまたま a_{-1} = 0 であって
[2] 式から (a_{-1})/(z - π/2) の項が消えるからだ。
ありがとうございます。
出来れば
S=Σ(n=0,N-1)e^cn=Σ(n=0,N-1)(e^c)n (初項1,項比e^cの等比級数の和)
=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
1-(e^c)^N=1-e^[i2πk/N×N]=1-e^[i2πk]
において、Σ(n=0,N-1)(e^c)n (1-(e^c)^N)/(1-e^c)からシグマが消えて=(1-(e^c)^N)/(1-e^c)
1-(e^c)^Nとなったのか過程の計算を教えてください。
No.1
- 回答日時:
特別扱いされているのは、n = 2 じゃなく
n = -2 ですよ。大丈夫ですか?
まず、lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m が収束するような最小の m
を探しましょう。
(tan z)(z - π/2)^m = (cot u)u^m ; u = π/2 - z
= { (cos u)u^m }/(sin u) ={ u^(m-1) } (cos u){ u/(sin u) }
なので、
m≧1 のとき lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m
= lim[u→0] { u^(m-1) } (cos u){ u/(sin u) } = 0.
m<1 のとき lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m は発散します。
lim[z→π/2] (tan z)(z - π/2)^m が収束するような最小の m
は m=1 で、これはつまり
tan z は z = π/2 に位数 1 の極を持つということです。
ということは、 (tan z)/(z - π/2) は π/2 に位数 2 の極を持ちます。
{ (tan z)/(z - π/2) }(z - π/2)^2 が z = π/2 で正則になるので、
これをテイラー展開して
{ (tan z)/(z - π/2) }(z - π/2)^2 = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^k ←[1]
と書きましょう。両辺を (z - π/2)^2 で割ると
(tan z)/(z - π/2) = Σ[k=0→∞] (c_k)(x - π/2)^(k-2) となります。
あるいは、これを
(tan z)/(z - π/2) = (c_0)/(x - π/2)^2 + (c_1)/(x - π/2)
+ Σ[n=0→∞] (c_{n+2})(x - π/2)^n
と書いたほうが分かりやすいかな?
後は、c_0 = -1, c_1 = 0 であることをつきとめれば完了です。
[1] で z→π/2 の極限をとれば c_0 の値が、
[1] の両辺を d/dz してから z→π/2 の極限をとれば c_1 の値が
判りますね。やってみてくださいよ。
ありがとうございます。
別件なのですが、
g(z)=tan(z)/(z-π/2)
-->これはtanzは1位の極なので実際は2位の極となり
res()=limd/dz(z-π/2)^2・g(z)となります
と教えて頂いたのですが、
どうやってres()=limd/dz(z-π/2)^2・g(z)と導いたかわかりません。
ある方からは留数の計算定義そのものと言われましたが、留数の計算定義の公式を教えて下さい。
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