赤線部分の4行がわかりません。 なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわ

赤線部分の4行がわかりません。
なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわかるのですか？
また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/09/17 11:48

階差型？

相当な勘違いしてるよ。

どんな滅茶苦茶な数列で有っても、右から左を引いて作った数列を階差数列と言うのだよ。
階差数列が等差数列になってる、とか、階差数列が等比数列になってる、と表現する。

Σ変形はオナジミのパターン。
左辺のΣを実際に展開すれば規則がわかる。
(a^2/a2 - a^1/a1) + (a^3/a3 - a^2/a2) + (a^4/a4 - a^3/a3)・・・・。

()の左側と、次の()の右側が相殺されて消える。
じゃあ、何が残るか？？
最初の()の右側と、最後の()の左側が残る。

これで左辺のΣが解る。写真の通り

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/17 11:39

この解説、あまりよくないね。

アルファベットの「エイ：a」と、ギリシャ文字の「アルファ：α」を同時に使っていて、その区別がつきにくい。

現に、質問者さんも、解説に「アルファの (n+1)乗で割って」と書いてあるのを「エイ の (n+1) で割る」と勘違いしているみたいだし。

アルファを「A」、項数を示すサフィックスを「カッコ内」に、べき乗を「^○○」と書けば、③式は

　a(n+1) - Aa(n) = A^(n - 1)･[a(2) - Aa(1)]

であり、この両辺を「A^(n + 1)」で割れば

　a(n+1)/A^(n + 1) - a(n)/A^n = [a(2) - Aa(1)]/A^2
　　　　　　　　　　　　　　　　＝ a(2)/A^2 - a(1)/A　　　④

この右辺は「定数」だから、
　b(n) = a(n)/A^n
と書けば、④は

　b(n+1) - b(n) = b(2) - b(1)　　　　⑤

ということであり、bn が「階差数列」であることがわかりますよね？

＞また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

「階差数列」ですから、⑤で
　b(2) - b(1) = k
とおけば、
　{b(n) - b(n-1)} + {b(n-1) - b(n-2)} + {b(n-2) - b(n-3)} + ･･･ + {b(2) - b(1)} = (n - 1)k
で、かつ左辺は各々が相殺して
　b(n) - b(1) = (n - 1)k
になりますよね。
そうなるのが「階差数列」ですから。