エネルギー積分の意味

エネルギー積分の意味
　エネルギー積分を導くのに
∫Fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1)
　　　= ∫m・dv/dt・dx/dt・dt
　　　= ∫m・dv/dt・v・dt・・・・・・・・・(2)
　　　= ∫m・v・dv ・・・・・・・・・・・・・・(3)
　　　= 1/2m・v^2+C
のような解説が参考書に載っていました。置換積分を使えば形式的にこうなるのはわかるのですが、本来の(1)の積分の意味がよくわかりません。左辺は仕事を表すのは理解できますが、右辺は素直に解釈すれば「加速度を空間で積分？」ということになって、なぜそれが運動エネルギーにつながるかがどうもイメージが湧かないのです。イメージが湧かないといえば変形の途中で表れる(3)もそうで、数学的には単なる１次関数の積分ですが、物理的には「速度を速度で積分？」ということになりそうで、これまたよくわかりません。(3)は
　d(v/2)^2/dt = v・dv/dt
を(2)に代入すれば
　∫m・d(v/2)^2/dt・dt = 1/2m・v^2+C
となり、(3)になるのを避けられますが単に数式をこね回しているだけのような気もします。
　加速度を空間で積分、速度を速度で積分というのはどうすれば納得できるのでしょう。

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/05/16 16:19

ああ、積分の意味ですね。

＞∫Fdx = ∫m・a・dx ・・・・・・・・・・・・・・(1)

この式からスタートするのが悪いのです。
本来は、微小な仕事がΔF↑・Δx↑で、
これを微小時間の変化と考えると

ΔF↑・(Δx↑/Δt)Δt　
→　dF↑・(dx↑/dt)dt = dF↑・v↑dt

となるので、これを時間で積分した

∫F↑・v↑dt = ∫m a↑・v↑ dt

からスタートします。

a↑=d(v↑)/dtなので　

a↑・v↑ dt　=　v↑・d(v↑)/dt dt = (1/2)d(v^2)/dt dt = (1/2) d(v^2)

から左辺の積分はただちに(1/2)mv^2であることがみちびかれ、

∫[A->B] F↑・v↑dt = (1/2)mv(B)^2 - (1/2)mv(A)^2

となります。

力が保存力の場合はF↑= F↑(r↑）で、v↑=d(r↑)/dtなので　左辺は

∫[A->B] F↑・dr↑

になります。

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/05/16 17:39

仕事の結果が何になるかを運動方程式から導き，それに「運動エネルギーの変化」という定義を与えたのですから，右辺の数学に対して数学以上の意味を追求しようとするのは，あまり建設的でないような気がします。

運動方程式：運動量の時間変化の割合　＝　力

運動方程式の時間積分：運動量変化　＝　力積

力や質量概念が先見的にあったとして，質量×速度という量が力との関係において重要な意味のある量であることがわかった。そこでこれを「運動量」と呼ぶことにした。

運動方程式の経路積分：運動エネルギーの変化　＝　仕事

物体の変位において力がなす働きの定量化として，仕事の概念が確立され，運動方程式によってその 結果が1/2mv^2の変化に相当することがわかった。そこでこれを「運動エネルギー」と呼ぶことにした。

基本は，運動方程式にさかのぼるわけですから，運動方程式を認めるのならば，あとは数学的に一直線です。もう一度，整理すると，

力　＝質量に対して加速度を生じさせる「はたらき」＝質量×加速度
　　→運動方程式により質量に対して速度を変化させるものと定義した。

力積＝時間において力がなす「はたらき」の定量化
　　→運動方程式によれば「運動量」を変化させるものと定義できる。

仕事＝変位において力がなす「はたらき」の定量化
　　→運動方程式によれば「運動エネルギー」を変化させるものと定義できる。

「数式をこね回している」と割り切ったらどうでしょう。こんなん出ましたー…といって，重要な概念である「運動量」や「運動エネルギー」を人間は発明してきたのです（歴史的な順序は逆かもしれませんが）。

運動方程式こそが基本法則であり，それ以上でも以下でもない。法則の形を変えているに過ぎないのですから，途中計算に数学以上の意味を問うのは私は無意味だと思います。

この回答へのお礼

　回答ありがとうございます。
> 運動方程式こそが基本法則であり，それ以上でも以下でもない。法則の形を変えているに過ぎない
> のですから，途中計算に数学以上の意味を問うのは私は無意味だと思います。
　ふーむ、なるほど。お答えいただいた内容をじっくりと考えて今後の勉強の指針にしたいと思います。でも、こういうことに疑問を持つ人って少ないのですかねえ。

お礼日時：2010/05/16 18:53

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/05/16 15:53

積分を外した

F = ma

は運動方程式です。運動方程式の両辺をAからBまで積分してみると、

∫[A->B] Fdx = (1/2)m・v(B)^2 - (1/2)m・v(A)^2

となり、AからBまでなされた仕事が(1/2)mv^2という量の差になることが示されます。
そこで、(1/2)mv^2に運動エネルギーという名前をつけると

A-B間でなされた仕事はその間の運動エネルギーの差に等しい

という法則が出てきます。
これを広義のエネルギー保存則といったりします。