この連立方程式を解いてください!!

この連立方程式を解いてください!!

x^(2/3)+y^(2/3)=2^(2/3)　　…(1)
y=(-tan80°)(x-1/2)-√3/2　…(2)

ちなみに
(1)はx=2(cost)^3, y=2(sint)^3
と媒介変数ｔを用いて媒介変数表示できます。

この連立方程式を解くのは、かなり難しいと思います。
ですから、例え解けなくても、どのように解いていけば良いのかを教えてもらえるだけでも助かります。
あるいは、この方程式は解けないとか…

(1)、(2)から（x,y）を求めてください。
よろしくお願いします。

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/18 07:24

>初期近似解を変えてみると、

>　x = 0.0109 .....
>　y = 1.9080 .....
>へ収束します。
　　↑
これは、シート関数の誤用によるミスでした。

更正させたところ、
　　　↓
　x = -0.001332 .....
　y = 1.977168 .....
あたりへ収束。

ただし、負数の三乗根は負数を採用。
　　

この回答への補足

みなさん、回答ありがとうございます。

（ｘ、ｙ）の値ですが、
ｘ＞0、Ｙ＞0でお願いします。

また、もし無理数表記や、有理数表記ができるのなら、
小数ではなく、そちらでお願いします。

補足日時：2010/05/18 17:54

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なんだか,No.5さんの回答と同じ答えがありますね!!

お礼日時：2010/05/18 18:00

No.5 回答者： f272 回答日時： 2010/05/17 23:15

(1)の媒介変数表示を用いてx=2(cost)^3, y=2(sint)^3を(2)に代入します。

2(sint)^3=(-tan80°)(2(cost)^3-1/2)-√3/2
これから
2tan80°(cost)^3+2(sint)^3-tan80°/2+√3/2=0
が導けます。この式の左辺をf(t)とすれば
f(t)=2tan80°(cost)^3+2(sint)^3-tan80°/2+√3/2
となってtで微分しておきます。
f'(t)=-6tan80°(cost)^2sint+6(sint)^2cost
tに初期値を与えて
t_new=t-f(t)/f'(t)
で更新していけば解に収束します。
tの初期値を1とすれば，tの収束値は1.396263438であり，このときx=0.01047226，y=1.910224369です。
tの初期値を0.2とすれば，tの収束値は1.658230208であり，このときx=-0.001331707，y=1.977167994です。
tの初期値を-1とすれば，tの収束値は-0.883766558であり，このときx=0.510267929，y=-0.924257723です。

何か計算を間違っていますか？> #4氏

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。

初期値って何ですか？

お礼日時：2010/05/18 17:47

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/17 22:21

初期近似解を変えてみると、

　x = 0.0109 .....
　y = 1.9080 .....
へ収束します。

スプレッドシートでは桁不足なのか、重根があるのか、精査を要します！

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なんとなく、答えが見えてきました

お礼日時：2010/05/18 17:45

No.3 回答者： inara 回答日時： 2010/05/17 22:04

この連立方程式の解は2つの曲線

　　　x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)
　　　y = -tan(80度)*( x - 1/2 ) - √(3/2)
の交点の x,y 座標ですが、添付図のように A と B の2点の交点があります。数式処理ソフトでこの数値解を求めると以下のようになりました。
　　　A点　x = -0.0341327190413299552438351525834、y = 1.80447230737047950702359737768
　　　B点　x = 0.458475824533064699550923800023、y = -0.989249569991343165059883108313

ちなみに、この連立方程式の一般解は、数式処理ソフトによれば、Z を使って、以下のように表されます。
　　　x = (1/2)*{ a - √(6) + Z^3 }/a
　　　y = -(1/2)*Z^3
　　　a = tan(80度)
Z は
　　　( 1 + a^2 )**Z^6 - 6*2^(1/3)*a^2*Z^4 + ( 2*a - 2*√(6) )*Z^3 + 12*2^(2/3)*a^2*Z^2 - 15*a^2 - 2*a*√(6) + 6 = 0
の実数解だそうです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

せっかく回答してもらいましたが、
y = -tan(80度)*( x - 1/2 ) - √(3/2)
は違います
y = -tan(80度)*( x - 1/2 ) - √3/2
です。

お礼日時：2010/05/18 17:43

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/17 22:03

「x が負領域に引き込まれて、x^(2/3) が勘定不能」は、ミスによる誤報でした。

　　　↓
　x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)
　tan(80 deg)*x + y = {tan(80 deg)-√3}/2

微係数行列にポカがあり、正したところ、
　x = 0.0101 .....
　y = 1.9123 .....
あたりへ収束しました。

(スプレッドシート上での試行です)
　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
　
スプレッドシートですか…
知らなかったです

お礼日時：2010/05/18 17:40

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2010/05/17 20:26

Newton 法を試みると、x が負領域に引き込まれて、x^(2/3) が勘定不能。

　　　↓
　x^(2/3) + y^(2/3) = 2^(2/3)
　tan(80 deg)*x + y = {tan(80 deg)-√3}/2

きわどい問題みたいですね。
　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ニュートン法で求まるんですか!?

お礼日時：2010/05/18 17:38