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A,Bをn次正方行列とする場合、|A B B A|=|A+B||A-B|を証明したいのですが。

A 回答 (1件)

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、


次の質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
|A  B|
|B  A|
のことを言っているようですね。それなら、値は
|A+B||A-B|
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
|A  B|
|B  A|
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix …
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。最後のkは行で良いですよね。
こういう問題をひょひょいと解かれるのは、凄い能力ですね。
もしお時間ございましたら、是非、もう一つの方も見て頂けますと凄く助かります。
ウェブで書けなかったのですが、
|A B|
|C D|=|AD-CB|になります。

お礼日時:2010/05/20 22:29

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