３種類ものを、５回選ぶことで全種類網羅する確率はいくつでしょうか？

３種類ものを、５回選ぶことで全種類網羅する確率はいくつでしょうか？


この前釣り堀に行ったのですが、そこでは３種類の魚が釣れると銘打っているところでした。
しかし一人当たり釣ることのできる最大数は５匹です。
そこで疑問に思ったのですが、このような場合に５匹のうちに３種類すべて含まれる確率はいくつなのでしょうか？

ちなみに、各種はそれぞれ同じ確率で釣れると考えてください。

No.8 ベストアンサー 回答者： don9don9 回答日時： 2010/06/16 17:47

A,B,Cの3種類の魚がいるとして、5回釣った場合の魚の釣れ方は

3^5 = 243通り（^5は5乗のことです）

「3種類すべて釣れた」の余事象「2種類または1種類しか釣れなかった」
確率を1から引くという考え方をすると

1種類しか釣れなかった釣れ方は全部A、全部B、全部Cの3通り

2種類しか釣れなかった釣れ方は
1匹と4匹の組合せの場合と2匹と3匹の場合が考えられる

1匹と4匹の場合
2種類の魚がABCのどの組合せかは、3P2 = 6通り
（Aが4匹Bが1匹とAが1匹Bが4匹を区別するため順列を使う）
1匹の方の魚が5回のうちの何回目で釣れたかで、5C1 = 5通り
これを掛け合わせて30通り

2匹と3匹の場合
2種類の魚がABCのどの組合せかは、3P2 = 6通り
2匹の方の魚が5回のうちの何回目と何回目で釣れたかで、5C2 = 10通り
これを掛け合わせて60通り

よって全243通りのうち、2種類または1種類しか釣れない釣れ方は93通り
(243-93)/243 = 150/243 = 50/81

No.7 回答者： at9_am 回答日時： 2010/06/16 17:19

＃１です。

計算間違い修正版。
なんか、まだ間違っている気もするが。


1匹目、二匹目でコンプする可能性はありません。

3匹目でコンプする可能性は 2/9。

4匹目でコンプする可能性は、3匹目でコンプしていないため、
どれか一種類が3匹いる場合：1/9でこの状態になり、コンプする可能性はゼロです。
1匹と2匹になっている場合：2/3でこの状態になり、コンプする可能性は1/3なので、2/9。

5匹目でコンプする可能性は、4匹目でコンプしていないため、
どれか一種類しかいない場合：1/27でこの状態になり、コンプする可能性はゼロです。
二種類いる場合：2/27 + 4/9 = 14/27 でこの状態になり、コンプする可能性は1/3なので、14/81。

したがって、5匹目まででコンプする可能性は
2/9 + 2/9 + 14/81 = 50/81
となります。

めでたく他の人と一致しました。ということで、前の私の回答は計算が間違っています。

No.6 回答者： nag0720 回答日時： 2010/06/16 15:07

いろんな回答がでていますので、また別の解を。

最初に釣り上げた魚をA、つぎに違う魚を釣り上げたらB、そのつぎにA,Bではない魚を釣り上げたらC、すでに釣った魚と同じ種類の魚を釣りあげたら・で表すと、
３種類の魚を釣り上げるパターンとその確率は、
A・・BC --- 1*(1/3)*(1/3)*(2/3)*(1/3)=2/81
A・B・C --- 1*(1/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3)=4/81
A・BC・ --- 1*(1/3)*(2/3)*(1/3)*(3/3)=6/81
AB・・C --- 1*(2/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3)=8/81
AB・C・ --- 1*(2/3)*(2/3)*(1/3)*(3/3)=12/81
ABC・・ --- 1*(2/3)*(1/3)*(3/3)*(3/3)=18/81

これを全部足すと、50/81

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/16 14:06

四者四様全て違うのか、

自信が揺らいでくるな…

とりあえず、
No.1 は、三匹目でコンプする確率が
1/9 じゃなく、3!/3↑3 のはず。

No.3 は、3H5 通りの各々が等確率ではない
から、確率計算になっていない。

No.4 は、何をやってるのかよく解らないので、
私には、ダメ出し不能。
二種類目、三種類目がいつ出るのかを勘定してない
ところがマズそうだけど…

No.4 回答者： 60kiro 回答日時： 2010/06/16 12:31

３種類の魚をa,b,cとして

　（☆１回に針にかかるのは１匹と仮定していいのですよね）

　１回に釣れるのはa,b,cの３通りなので、５回釣った時の釣れ方は３＊３＊３＊３＊３＝２４３通り

　３種類すべてが含まれるためには、５回のうち少なくとも１回は他回で釣れなかった２通り、１回は残りの１通りでなければならないので、そうなる釣れ方は全部で
　　ア　３＊３＊３＊２＊１＝５４
　　イ　３＊３＊２＊２＊１＝３６
　　ウ　３＊２＊２＊２＊１＝２４
　　エ　３＊２＊２＊１＊１＝１２
　　オ　３＊２＊１＊１＊１＝６
通りの合計で１３２通り

求める確率は　１３２/２４３＝４４/８１　

No.3 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/06/16 12:17

３種類のものから重複を許して５個とる重複組み合わせの総数は、

3H5
あります。
で、そのうち、３種類全部網羅するには、あらかじめ、３種類のもの
を１個ずつ選んでおき、残りの２つは、３種類のものから自由に重複
を許して２個選ぶ重複組み合わせの総数ありますから、
3H2

したがって、確率は、
p=3H2/3H5=4C2/7C2=2/7
となります。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/16 10:42

オーソドックスなやつ :

A,B,C 三種類の物をランダムに五個並べる
ことを考えます。
ただし、A,B,C それぞれの出現確率は等しい
ものと仮定します。

A,B,C の並べ方の総数は、3↑5 通り。

五個が A,B だけからなる並べ方は、2↑5 通り。
B,C だけ、C,A だけの並べ方も、2↑5 通り。

五個が一種類からなる AAAAA, BBBBB, CCCCC を
重複して数えないように気をつけて、
二種類以下で五個並べる並べ方は、
(2↑5 - 2)×3 + 3 = 93 通り。

三種類を網羅する確率は、
1 - 93/(3↑5)。

この回答への補足

ありがとうございます。
しかし、計算してみるとどうも答えが合いません。


先ほどの方は16/27
しかしこの計算方法では1-(93/243)=150/243=50/81

となります。


どちらが正しいのでしょうか？

補足日時：2010/06/16 10:53

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2010/06/16 10:32

多分、オーソドックスな方法は他の方が回答されると思いますから、別の方法を。

なんか、どこかで計算違いしてそうな気がしますが・・・


1匹目、二匹目でコンプする可能性はありません。

3匹目でコンプする可能性は 1/9。

4匹目でコンプする可能性は、3匹目でコンプしていないため、
どれか一種類が3匹いる場合：1/27でこの状態になり、コンプする可能性はゼロです。
1匹と2匹になっている場合：23/27でこの状態になり、コンプする可能性は1/3なので、23/81。

5匹目でコンプする可能性は、4匹目でコンプしていないため、
どれか一種類しかいない場合：1/81でこの状態になり、コンプする可能性はゼロです。
二種類いる場合：2/81 + 46/81 = 48/81 = 16/27 でこの状態になり、コンプする可能性は1/3なので、16/81。

したがって、5匹目まででコンプする可能性は
1/9 + 23/81 + 16/81 = 48/81 = 16/27
となり、16/27となります。

この回答への補足

ありがとうございます。

しかしながら他の方にお答えいただいた答えと、合いません・・・


一体どちらが正しいのでしょうか？

導き方はどちらも正しく思えるのですが・・・

補足日時：2010/06/16 10:53