確率問題

【Ⅰ】
①ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、おもてを見ないで箱の中にしまった。
②残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、3枚ともダイヤだった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
・これの答えが1/4か10/49かの議論がよくありますが、私は前者だと思います。


【Ⅱ】
①ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、おもてを見ないで箱の中にしまった。
②残りのカードをよく切ってから12枚抜き出したところ、12枚ともダイヤだった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
・10/49派の方であれば確率は1/40と答えるのでしょうが、それでも私は1/4のままだと思います。


【Ⅲ】
①ジョーカーを除いてよく切ったトランプ52枚の中から12枚抜き出したところ、12枚ともダイヤだった。
②残りのカードから1枚のカードを抜き出し、おもてを見ないで箱の中にしまった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
・この場合の確率は1/40です。


【Ⅳ】
①ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、客席だけに見せてから箱の中にしまった。
②残りのカードをよく切ってから12枚抜き出したところ、12枚ともダイヤだった。
このとき、お客さんが見たカードがダイヤである確率はいくらか。

この場合、お客さんがダイヤのカードを見た確率は1/40でしょうか。
いや、1/4だと思います。



【Ⅴ】
今からトランプを1枚引け。そのカードがダイヤなら、命は助けてやる。
次の二つから好きな引き方法を選べ。
①よく切った52枚のトランプから1枚引け。
②よく切った52枚のトランプから12枚引き抜いたら、全部ダイヤだったぞ。その残りの40枚のトランプから1枚引け。

【Ⅵ】
次の2枚のトランプから1枚を選べ。そのカードがダイヤなら、命は助けてやる。
①よく切った52枚のトランプから1枚引いたカード。（ついでに教えてやるが、その後に12枚引いたら全部ダイヤだったぞ）
②よく切った52枚のトランプから12枚引き抜いたら、全部ダイヤだった。その残りの40枚のトランプから1枚引いたカード。

Ⅴ、Ⅵどちらの場合でも、私なら絶対に①を選びます。

質問者からの補足コメント

• 

  すいません、肝心なところを書いておりませんでした。
  10/49派の御意見と、
  この問題の本当の正解及び解説が欲しいです。

    補足日時：2017/07/07 12:39

• 

  次の条件でプログラムを書いた場合、確率はどれだけになるんでしょう。
  
  ・52枚のトランプから1枚引いて、箱に入れる。
  ・残りの51枚から12枚を引いて、全てがダイヤであった場合のみのパターンを抽出する。
  ・この場合に、最初に箱に入れたカードがダイヤである確率を求める。

    補足日時：2017/07/07 15:10

• 

  10/49派の20170130さんに質問です。
  【Ⅳ】の場合に、貴方が客席にいたとします。
  ◆を見る確率は、1/40ですか？
  それとも、1/4ですか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/07 16:02

• 

  (13*12*11*10)/(13*13*12*11+13*13*12*11+13*13*12*11)
  =17,160/(22,308+22,308+22,308)
  =17,160/84,084
  =10/49
  ですよね。
  またはもっと単純に、残り49枚のカードの中に◆が10枚だから、10/49。
  それも解ります。
  
  でも、繰り返しになりますが、
  【Ⅳ】の場合に、貴方が客席にいたとします。
  ◆を見る確率は、1/40ですか？
  それとも、1/4ですか？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/07 16:37

• 

  Tacosanさん、丁寧なご解説ありがとうございます。
  もう一つだけ教えて下さい。
  貴方が挙げた例において2番と3番を入れ替えた場合、5番で手をあげる人は4番で残った人の何分の一ですか？
  52枚のカードから◆12枚を抜いた後の40枚（◆は残1枚）から◆を引く確率だから、1/40ではありませんか？
  
  ‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐
  52枚のカードから◆を引く確率（その後に誰がどんな順番でどのカードを引いたとしても）と、
  40枚の中に一枚しかない◆を引く確率が同じとは思えません。
  私が納得いかないポイントはここです。
  ‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐・‐

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/07/08 13:35

• 10/49派の場合、後から引く◆が3枚の場合は10/49、4枚の場合は9/48、5枚の場合は……と続いて、12枚の場合は1/40、13枚の場合は0/39=0という事ですよね。
  私の場合は後から引く◆が何枚であろうと1/4のままですが、13枚引いてしまうと流石に0/4=0と言わざるを得ません。
  その後の条件によって当初の確立が変わるという事自体に異論はありません。
  私の主張の場合だって、最終的には0になって、当初とは確率が変わりますし。
  その後の条件によって、10/49派の方は徐々に確率が変動し最後は0になる。
  私の場合しばらくは確率が変動しないが、最後は急に0になる。
  10/49派の方が美しい気がしますね。

    補足日時：2017/07/08 13:36

No.9 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/07/09 23:20

「2番と3番を入れ替えた」結果としてどのような操作になるのかがよくわからないんですが, どういう操作であっても結果はかわりません. 例えば

2. デッキの上から 12枚のカードをめくる
3. 2 でめくってた 12枚のカードが全てダイヤモンドである人のみ残ってもらう
4. さらにデッキの上から 1枚めくる
5. 4 でめくったカードがダイヤモンドである人には手を挙げてもらう
でも, 手を挙げる人は全体の 1/40 です.

さて, では次のような状況を考えてみましょう:
1. た～くさんの人を集めて, それぞれに完全にランダムにシャッフルしたデッキを与える
2. デッキの一番上のカードを 13枚目に移動する (つまりもとの 2枚目～13枚目が 1枚目～12枚目になる)
3. デッキの上から 12枚のカードをめくる
4. 3 でめくった 12枚のカードが全てダイヤモンドである人のみ残ってもらい, その他の (12枚中ダイヤモンドでないカードが 1枚でも出た) 人には出ていってもらう
5. 残ったデッキの一番上のカードをめくる
6. 5 でめくったカードがダイヤモンドの人には手を挙げてもらう

手を挙げた人のわりあいはどのくらいでしょうか?

この回答へのお礼

対応が遅れてしまい申し訳ありません。

どうしても、最初の確率が1/4なんだから…という感覚が強く、10/49への違和感がありました。
その後に何のカードを引いたかの記述など、その後に“豚骨ラーメンを食べました”と入れ替えても同じくらい無関係ではなかろうかと。

頭じゃ本当は10/49何だろうなとは思っていたのですが、
Tacosanさんの「2. デッキの一番上のカードを 13枚目に移動する」には参りました。
仰る通りです。

Tacosanさんをはじめ、付き合ってくれた皆さん、ありがとうございます。

お礼日時：2017/07/12 12:16

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/08 22:34

>私の場合は後から引く◆が何枚であろうと1/4のままですが、

>13枚引いてしまうと流石に0/4=0と言わざるを得ません。

これは確率と条件付確率をごちゃ混ぜにしている証拠。
それぞれの明確な定義とその違いを学び直しましょう。

何を母集団にして、どの事象を数えているか明確にわかれば
よいのです。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/08 12:31

Iが10/49であることはもっと極端な例を考えれば自明です。

AとB 2枚のカードがある。
最初にー枚引き、伏せておく。
残りのもうー枚のカードを表にするとBだった。
最初のカードがAである確率は？

勿論100%。これは2枚目がBの時の条件付確率で
最初にAを引く確率(=50%)ではありません。
つまり両者は矛盾なく共存します。

IVも確率の定義を考えれば1/40は明らか。
この試行を行ったとき、ダイアが12枚出ず、失敗した
試行が山ほど有ったはず。
条件付確率ではこうした試行は除外して記録をとり
統計をとって確率を計算します。
失敗した試行を無視しないのなら1/4になるのは
あたり前。そもそも条件など書いても無視するのだから
書いても無意味です。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/07/07 23:59

「◆を見る確率」というのは, いつ「◆を見る」確率のことを意味するのでしょうか? 最初に抜き出したカードのスートを考えるなら, むしろ「◆を見た確率」という方が適切ではありませんか?

そして, 次のような状況においては 1/40 という数値が出てきます:
1. た～くさんの人を集めて, それぞれに完全にランダムにシャッフルしたデッキを与える
2. まず 1枚めくってそのスートを見てもらう (そしてそれは脇に置いておく)
3. その後 12枚のカードをめくる
4. 3 でめくった 12枚のカードが全てダイヤモンドである人のみ残ってもらい, その他の (12枚中ダイヤモンドでないカードが 1枚でも出た) 人には出ていってもらう
5. 4 で残った人に対して, 2 でめくったカードがダイヤモンドであるときにのみ手を挙げてもらう
このとき, 5 で手を挙げる人の割合は, 4 で残った人に対して 1/40 になります.

No.5 回答者： 20170130 回答日時： 2017/07/07 17:15

補足での質問に対する回答です。

ダイヤを見たか、見なかったかで、その後の12枚連続ダイヤが成功する確率が変わってきますので、12枚連続ダイヤに成功した分だけで見ると1/40になると考えています。

質問者様も補足で言及されたプログラムに置いても同様に1/40と考えています。

52枚は大変なので3種類2枚ずつの6枚で考えてみてはいかがですか。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/07/07 16:20

(1) の場合の組み合わせの数を計算してみようか.

以下スートは
S: スペード, H: ハート, D: ダイヤモンド, C: クラブ, X: 任意
で表すものとする.

まず最初に 1枚取り出して箱に入れる. これはどのスートかわからないので X としておく.

その後 3枚引くとすべてダイヤモンドである. つまり DDD と表すことができる.

全体で XDDD となるわけだが, このとき
・X=D の場合: 13*12*11*10 = 17160通り
・X=S の場合: 13*13*12*11 = 22308通り
・X=H, C の場合は X=S の場合と同じく 22308通り
である.

ここから確率を計算すると
(XDDD において X=D である確率) = 10/49.

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2017/07/07 15:26

事後に分かったことであっても、その情報によって過去に事象が起こったかどうかの評価は変動するはずだと思うので、10/49派です。

その立場からすると、質問者様の例示された、(Ⅵ)は同じに見えるので
別の選択肢を提示します

Ⅶ

次の3枚のトランプから1枚を選べ。そのカードがダイヤなら、命は助けてやり副賞を与える。
①よく切った52枚のトランプから1枚引いたカード。/副賞　100円
②よく切った52枚のトランプから1枚引いたカード。（ついでに教えてやるが、その後に12枚引いたら全部ダイヤだったぞ）/副賞　10億円
③よく切った52枚のトランプから1枚引いたカード。（ついでに教えてやるが、その後に24枚引いたら全部スペードとクラブが12枚ずつだったぞ）/副賞 なし

質問者様は確率が全部同じとの考えから②を選ばれるでしょうが、私は③を選びます。

専門家ではないので一つの意見としてお考え下さい。

No.2 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2017/07/07 14:52

＞【Ⅵ】

＞次の2枚のトランプから1枚を選べ。そのカードがダイヤなら、命は助けてやる。
＞①よく切った52枚のトランプから1枚引いたカード。（ついでに教えてやるが、その後に12枚引いたら全部ダイヤだったぞ）
引いた時点では1/4の可能性があったが、
12枚全部ダイヤだったという悲しい条件が追加されると、
今となっては1/40
ということだと思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/07/07 12:33

で質問は何なんでしょうか?