物理で微分してたら、よく分からないことになった；；

物理で微分してたら、よく分からないことになった；；


こんにちわ。物理好きの高校生です。

高校物理の教科書のドップラー効果の説明が何となく胡散臭く感じて、何となく納得し辛かったので、自分で解析的に証明してみようとしているところですが、行き詰まってしまいました。


出来れば、すぐに回答を頂きたいです；；


以下は僕が途中まで考えたものです。




音源の速さをv
音の速さをV
振動数をf
t=tの瞬間に発せられる波の波長をλ(t)
t=tの瞬間に発せられる波が観測地点に到達するまでの時間をT(t)

とし、音源が観測地点に接近して行っているとする。

常に、

(t=tの瞬間に発せられる波の波長)＝(t=tの瞬間の目標地点までの距離)/(仮にt=tの瞬間に音源が動きを止め、t=tの瞬間の波を常に一定に発し続けたと仮定したときの観測地点までの波の個数)

（波の個数は、１周期分の波を１個と数えます）

の関係が成り立つから、


λ(t)=(V+v)*T(t)/{f*T(t)}=(V+v)/f

λ(t+Δt)={(V+v)*T(t)-v*Δt}/{f*T(t+Δt)}





として、λ(t)の時間微分がマイナスになることを示し、一旦は自分の納得できる証明が出来スッキリしていたのですが・・・



よく考えると、前述のλ(t+Δt)の式は

λ(t+Δt)={(V+v)*T(t)-v*Δt}/{f*T(t+Δt)}

であると同時に、

λ(t+Δt)=(V+v)*T(t+Δt)/{f*T(t+Δt)}

とも表現出来るので、λ(t+Δt)=(V+v)/fとなり、

λ(t)=λ(t+Δt)

になってしまいます・・・；；


Δt→0とした後で、

λ(t)=λ(t+Δt)　（と言うよりは、むしろλ(t+Δt)→λ(t)）

となるのなら、それは微分の特徴でもあるので理解できるのですが、そもそも、Δt→0とする以前に、最初から、λ(t)=λ(t+Δt)となってしまうのはおかしいと思って・・・。


ドップラー効果に関する物理的なご回答と言うよりは、この証明において僕の式変形のどこが至らなかったのかに関する数学寄りのご回答を希望します・・・；；

No.2 回答者： hypnotize 回答日時： 2010/07/06 21:55

式の変形が間違えているのではなくて、

λ(t)=(V+v)*T(t)/{f*T(t)}=(V+v)/f
この式の時点で間違えています。

λ(v)としてもう一度考えてみてください。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/06 21:28

こんばんわ。

面白い考え方だなあと思って、拝見しました。
ところが、疑問もわいてきました。＾＾；

＞t=tの瞬間に発せられる波の波長をλ(t)
＞t=tの瞬間に発せられる波が観測地点に到達するまでの時間をT(t)

疑問１）λ(t)ですが、「誰が観測したときの波長ですか？音源？観測者？」
疑問２）λ(t)は時間の関数となっていますが、波長自体が時間によって変化するわけではありませんよね。あくまでも、観測者（相対速度）によって変わるということなので・・・。

疑問３）T(t)ですが、これこそ時間に依存した関数になるはずですよね。
時刻 t0における到達時間を T(t0)とすれば、音源が観測者に近づいていくので、
T(t)＝ T(t0)- v(t- t0)/(V+ v)
（時間：t- t0だけ経てば、距離：v(t- t0)だけ観測者に近づくので、その分だけ到達時間は短くなる）


＞ドップラー効果に関する物理的なご回答と言うよりは、
＞この証明において僕の式変形のどこが至らなかったのかに関する数学寄りのご回答を希望します・・・；；
結局、微分自体用いることが違うということになると思うのですが・・・
ただ、このような考え方を持つことは非常に大事だと思いますし、えらいことだと感じました。