∫1/√(x^2+a)dxの求め方

∫1/√(x^2+a)dxの求め方

積分公式の一つに

∫1/√(x^2+a)dx=log{x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数)

がありますよね。
これってどのように証明すればよいのですか？
x=asinθで置換積分してもうまく解けないのですが…。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/14 11:31

この積分は置換の仕方が決まっています。

なので丸覚えしてください。
a>0のときは
t=x+√(x^2+a)
で置換積分します。
dt=dx(1+x/√(x^2+a))=tdx/√(x^2+a)
dx/√(x^2+a)=dt/t

I=∫1/√(x^2+a)dx
=∫dt/t
=log|t|+C
=log|x+√(x^2+a)|+C
=log(x+√(x^2+a))+C
=arcsinh(x/√a)+C

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
これもパターン化されている置換積分なのですね。

お礼日時：2010/07/17 16:04

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/14 22:57

x = (√a)tanθ, -π/2<θ<π/2 なら、うまく行くのでは？

これは、被積分関数に √(x^2+1) が入っているときの定石のひとつ。

√(x^2+a) = (√a)√{(tanθ)^2+1} = (√a)/cosθ,
dx/dθ = (d/dθ)(√a)tanθ = (√a)/(cosθ)^2
になるので、

∫1/√(x^2+a)dx = ∫{1/√(x^2+a)}(dx/dθ)dθ
= ∫{(cosθ)/(√a)}{(√a)/(cosθ)^2}dθ
= ∫(cosθ)/{1 - (sinθ)^2}dθ

= ∫1/(1-s^2)ds　　　　　　　　　　 ; s = sinθ と置いた
= ∫(1/2){1/(1+s) + 1/(1-s)}ds　　　; 部分分数分解
= (1/2){log(1+s) - log(1-s)} + A　　; A は積分定数
= log√{(1+s)/(1-s)} + A
と積分できる。

(1+s)/(1-s) = (1 + sinθ)/(1 - sinθ)
= (1 + sinθ)^2 / { 1 - (sinθ)^2 }
= { (1 + sinθ) / cosθ }^2
= { (1/cosθ) + tanθ }^2
= { √(x^2+a) + x }^2 / a
を使って、整理すると、

∫1/√(x^2+a)dx = log{ √(x^2+a) + x } + (A - log√a)。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/07/17 16:04

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/14 11:27

この積分は置換の仕方が決まっています。

なので丸覚えしてください。
a>0のときは
t=x+√(x^2+a)
で置換積分します。
dt=dx(1+x/√(x^2+a))=tdx/√(x^2+a)
dx/√(x^2+a)=dt/t

I=∫1/√(x^2+a)dx
=∫dt/t
=log|t|+C
=log|x+√(x^2+a)|+C
=log(x+√(x^2+a))+C
=arcsinh(x/√a)+C

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/07/14 00:08

aは正ですか、負ですか。

この回答への補足

すみません。忘れていました。
ご指摘ありがとうございます。
aは正の実数です。

補足日時：2010/07/14 00:23