正定値行列の最大・最小
行列の問題で以下の問題が分からないので、分かる方はヒントをいただければと思います。
一応画像を張っておきますが(張れてないかも・・・)見えにくい(見えない)場合は、下に同じ表現の文章を書いていますので下の文章を見てください。
Aをp次対称行列,bをp次元ベクトルとす。このときfを
f(x1,x2,・・・,xp) = x^tAx + (b,x) (-∞<xi<+∞)
と、定義する。
(1)Aが正定値行列であるとき、fの最大値、最小値を求めよ。
(2)Aが非不正定値行列でbがM(A)の元でないとき、fの最大・最小を求めよ。ただしM(A)は行列Aの縦ベクトルが張る線形部分空間を表す。
初めのfの定義でのx^tはxの転置行列、(b、x)はbとxの内積を表しています。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(2)の非負正定値行列は、非負定値行列ですね。
Aは直交行列Qで対角化できる(要証明)。
x=Qz.
W=Q^TAQ.
一般に(Q^Ta,b)=(a,Qb).
x^TAx+(b,x)=z^TWz+(Q^Tb,z).
Aを2×2または3×3行列として、具体的な場合をもとに計算すると分かりやすいと思います。
x^TAxの方はなんとか処理できていたのですが、内積の方を一緒に処理できずに困っていました。ヒントありがとうございました。とても分かりやすかったです。引き続き解答を進めていきたいと思います。
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