
ロンスキアンと一次独立性について
f(x)=x^3, g(x)=|x^3|
という関数があり、これの一次独立性をロンスキアンを用いて調べてみようと思います。
f'=3x^2(x:任意実数), g'=3x^2(x>=0), -3x^3(x<0)
よりロンスキアンW(f,g)=fg'-f'g=0 (-∞,-∞)となります。
これはf,gが一次従属であることを示します。
しかし一方でA,Bを定数として任意の実数xに対して、Af+Bg=0
となるようなA,BはA=B=0しかありません。つまりこれは一次独立であることを表しています。
どこが間違っているのでしょうか?「ロンスキアン≠0⇔一次独立」は微分方程式を絡めたときでないと成り立たないなどと書いてあるものもありますがよく分かりません。
何か大きな勘違いをしているような気もします。
是非ご存じの方いましたら回答よろしくお願いします。
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