平方根についてですが問題の答えに√8と書いたところ×がついていました。

Question

平方根についてですが問題の答えに√8と書いたところ×がついていました。（子どものテストです）
正解は２√２と書くとのことです。塾のテストなので学生が教えているので仕方ないかな？と思った
んですが、中学校でも×がつくと子どもが言っていました。
例えば　８－√８＋８という計算問題ではー√８でもー２√２でも正解だと思うんですが。
どうでしょうか。

boiseweb · Accepted Answer

√8 を 2√2 に変換するのは，決して "must" （～ねばならない）ではありません．
これを must であるかのように教条的に教えるのは非教育的である，というのが，私の意見です．
この変換のしかたを教える理由は，ただ，「そう変換すると計算が便利なことがあるから，変換のしかたを知識として知っている必要がある」というだけです．

「約分」だって must とはいえません．たとえば，37/125 がどのぐらいの大きさか，一目見て見当がつきますか？ 296/1000 と書いておけば「およそ3割」であると見当がつきます．そして「おおよその見当がつく」ことが有用な局面だってあるわけで，そういう場面でわざわざ 37/125 と書き直すのはかえって不都合です．

同僚から聞いた話ですが，ある高校数学教師が，生徒に「分母の有理化はなぜしなければならないのか」と質問されて，自分では答えられず，同じ高校の同僚に相談しても結論が出なかったそうです．
彼はこのエピソードを「ばかばかしい」と切り捨てました．彼の意見は「分母の有理化なんて，してもしなくても，どっちでもいい，ただ，有理化が真に必要な局面というのもあるので，その時のために『方法を知っている』必要があるから教えるのだ」でした．

たとえば，物理などで 1 / √(x^2+y^2) という式が出てきたとします．これの分母を有理化して √(x^2+y^2) / (x^2+y^2) と変形してしまうと，何のことだかよくわからない式になってしまいますが，もとの形のままなら「（xy平面上の点の）原点からの距離の逆数」であることが一目瞭然です．

有理化にせよ約分にせよ √8 → 2√2 にせよ，そう変形するのがよいのか，しないのがよいのかという判断は，「その局面でその式をどのように取り扱いたいか」という文脈に依存する話であって，文脈に関係なく「常にしなければならない」というのは偏った考え方です．変形が必要な局面に備えて変形のしかたを教えるという範囲を超えて「何が何でも変形しなければならない」という義務感を植え付けるのは，教育のしかたとしておかしいと感じます．
塾はともかく，中学校の先生に対しては，きちんと理論武装したうえで「√8 を×にするのはおかしいのでは？」と見解を質しても構わないと思いますよ．

Ishiwara · Answer

純粋に数学として見るならば、正解が１/２の場合、２/４と書いても「正答」です。
２/４を「誤答」とするのは、教育的見地から、先生と生徒の間に「最も簡単な形で書かない答案は減点する」という「了解」がある場合に限ります。√８か２√２か、についても同じです。

sak_sak · Answer

No.4です。
2/4より1/2の方が優れている点は通分のやり易さだと思います。
2/4+5/6より1/2+5/6の方が簡単にできると思います。

平方根でも加減算があって、√98+√8のような計算をします。
このままでは計算ができませんが、√98=7√2, √8=2√2と直すことにより
9√2と求めることができます。

このように平方根の場合はルートの中を簡単にしておく方が
何かと計算が楽に行えることが多いのです。

また、これは中学で必須項目ではありませんが
√2≒1.4と覚えることにより√8=2√2≒2.8と知ることもできます。

もしかしたら、宇宙のどこかに宇宙人がいるとして
そこまでいかなくとも、日本で今日行われているような
数学教育とは全く違う数学を教えている人たちがいたら
2√2より√8の方が良いとしている所があるかもしれません。
しかし、通常の場合、今日の日本の学校教育においては
√8より2√2の方が良いとしているのです。

noname#164823 · Answer

本題とはそれますが、

「塾のテストなので学生が教えているので仕方ないかな？と思った
んですが」
こちらの方が気になりました。

塾や講師の質も様々ですが、どこの塾の講師でも、採用されるにあたり、
テストを通っているはずですし、学校の教師より優秀な講師もいます。

ご質問の内容は、分数で約分しないまま解答するのと同じ事で、
このような基礎的な事を教えられない講師はいないと思いますが。

質問者様が懐疑的な塾に、なぜお子様を通わせておられるのか
疑問に思いました。

nattocurry · Answer

たとえば、√４は、２と答えても、そのまま√４と答えても、両方とも正解だと思いますか？

計算過程では、√８のままでも良いですが、答としては、根号の中はできるだけ小さい整数にすべきなのです。
実際、そう習っているはずです。

Tacosan · Answer

基本的には「根号の中はなるべく簡単な数値にする」ことになっています. 大雑把には #5 の分数の指摘と同じ.
あと, 余談ですが通常帯分数は使いません.

fusem23 · Answer

√８がいくらか、すぐ答えられますか？
√２や√３程度は、覚えておく必要があります。
それに対し、√８を覚えている人は少ないでしょう。
つまり、２√２は小数で答えられますが、√８では無理です。

例えば、８－√８＋８という計算問題で、小数で答えよという問題なら、
√８を２√２に変換できなければ、正解を出せなくなります。
電卓で計算するような発想をしてると分からないでしょうが。

sotom · Answer

なるべく簡略化しないといけないのが、数学の基本的ルールです。
分数で言えば、16/32を1/2と約分するのと同じです。

何故、簡略化しないと行けないのか。効率よく解を求めるためです。

sak_sak · Answer

小学校の分数の問題で、(4分の3)-(4分の1)の答えを、4分の2と答えたら×になるのと同じです。
数値として間違っていなくても、最適な解答の仕方というものがあるのです。

char2nd · Answer

単純に計算結果を数値で表すのであればそれで正解ですが、学校のテストなどではそれでは正解になりません。
　分数でも、回答は可能な限り約分する、もしくは仮分数にはせず帯分数とする、という決まり事があります。つまり、一定のところで計算をやめるのではなく、ある程度決まった形に整理したものを答えとするわけです。
　これは平方根の場合でも同じで、整数に出来る部分はそのように表記しないと正解とはなりません。
　同様のことは実社会でもあります。単に結果だけを示すのではなく、それがどういった意味を持つのかを説明しなければ相手には伝わりにくい場合があります。
　学校のテスト問題にそこまでの意味を含めているかどうかは判りませんが、回答の仕方に決まりがあるのであれば、その段階まで整理しなければ認められないという点では同じではないでしょうか。

平方根についてですが問題の答えに√8と書いたところ×がついていました。

√8 を 2√2 に変換するのは，決して "must" （～ねばならない）ではありません．

純粋に数学として見るならば、正解が１/２の場合、２/４と書いても「正答」です。

No.4です。

本題とはそれますが、

たとえば、√４は、２と答えても、そのまま√４と答えても、両方とも正解だと思いますか？

基本的には「根号の中はなるべく簡単な数値にする」ことになっています. 大雑把には #5 の分数の指摘と同じ.

√８がいくらか、すぐ答えられますか？

なるべく簡略化しないといけないのが、数学の基本的ルールです。

小学校の分数の問題で、(4分の3)-(4分の1)の答えを、4分の2と答えたら×になるのと同じです。

単純に計算結果を数値で表すのであればそれで正解ですが、学校のテストなどではそれでは正解になりません。

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