マクローリンの級数展開について

f(x) = log( 1 + 1/x )
をマクローリンの級数展開しようと思ったのですが、
中心を0として計算しようとしたところ、
f(x), f'(x) 等に０で割る計算が出てきてしまうので、
どうしたら良いのかがわかりません。
この問題の解答を見たところ、
log(1+t)のマクローリン展開をt=(1/x)と代入する
との事ですが、確かにこれでも良さそうな気がするのですが、
この場合は、t=0を中心として展開しているので、
結局はx=∞を中心として展開しているように見えて、
いまいち納得できません。

どなたか、以上の疑問にご回答お願いします。

No.1 回答者： ekitaigenzou 回答日時： 2003/07/27 20:45

基本的なところで，ひとつ補足していただけますか？

理系人間ではありますが，数学は，素人なもので．

1/x というのは，x=0で定義されてないですよね？
こういう場合，log(1+1/x)もx=0で定義されないことになるのではないですか？

マクローリン展開というのは，テーラー展開のx=0のまわりのものを指すはずですので，おなじ用件
f(x)はc∞級(何回でも微分できて，そのどれもがすべて連続である)をみたさなくても良いのですか？

よろしくお願いします．

No.2 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/07/28 02:12

マクローリン展開は出来ません。

log(x)もx=0の周りでは出来ないので
わざわざlog(1+x)でやりますね、普通。

仕方ないので、ローラン展開します。
マクローリンを拡張したものです。
複素関数論を学べば出てきます。

No.3 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2003/07/28 11:26

マクローリン展開もローラン展開もできません．

x と書いているので，x は実数でしょう
log の中が負になっては具合が悪いから，
x→+0 と思うことにします．

x→+0 のとき，1+(1/x) は 1/x がメインです．
(1)　　log(1/x) = -log(x)
ですから，x→0 における発散の異常性は対数的で，
これを逆ベキで表現することはできませんので，
普通の意味のローラン展開はできません．
意味を拡張して log も許すなら次のようにすればよいでしょう．
(2)　　log{1+(1/x)} = log{(1+x)/x}
　　　　= -log(x) + log(1+x)
　　　　= -log(x) + x -(1/2)x^2 + (1/3)x^3 - ・・・

> この場合は、t=0を中心として展開しているので、
> 結局はx=∞を中心として展開しているように見えて、
> いまいち納得できません。

これは重要なことで，sato_ryu さんの疑問ははもっともです．
こういうことができるかどうかは，
t=0 を中心として展開したもの(t はゼロ付近と思って展開した)が
大きな t まで使えるかどうかにかかっています．
これを整理するのに便利なのが級数の収束範囲といわれるものです．
(3)　　log(1+t) = t -(1/2)t^2 + (1/3)t^3 - ・・・
の収束範囲は
(4)　　-1 ＜ t ≦ 1
です．
したがって，(3)で t=1/x とおいて x=0 付近での展開とすることは
できません．

こういう方法が可能なのは収束範囲が無限大まで伸びている場合に
限られます．
たとえば，exp(1/x) がそうで
(5)　　exp(t) = Σ{n=0～∞} t^n/n!
の収束範囲は
(6)　　-∞ < t < ∞
です．
したがって，任意の x に対して
(7)　　exp(1/x) = Σ{n=0～∞} x^(-n)/n!
が成立して，これが x=0 のまわりのローラン展開になります
(本当はローラン展開の一意性など触れないといけないけれども).

No.4 回答者： Rossana 回答日時： 2003/07/30 01:22

全ての変数を複素数に拡張する(その意味でxの代わりにzを用いる)と，マクローリン級数で

log(1＋t)＝t－(1/2)t^2＋(1/3)t^3－…
の収束半径は|t|＜1なので，
これよりz＝1/tの収束する範囲を求めると，
1＜|z|＜∞となります．
この開円環の内部ではローラン級数が収束するので，
上の式でt＝1/zと置いて
log(1＋1/z)＝1/z－(1/2)(1/z)^2＋(1/3)(1/z)^3－…
ただし，zは1＜|z|＜∞の開円環内に存在する複素数．
とやっていいと思います．
　つまり，収束する範囲をしっかりと明示しなければなりません．この場合，z＝0が『孤立真性特異点』となります．
　マクローリン級数，テイラー級数の収束半径に対して，ローラン級数は円環であるのに注意して下さい．

No.5 回答者： Rossana 回答日時： 2003/07/30 01:34

　不適切な文章があったので訂正します．

＃４の
『これよりz＝1/tの収束する範囲を求めると，…』
を
『これより上式でt＝1/zと置き換えた複素数zに対して
log(1＋1/z)のローラン級数が収束する範囲を求めると，…』
に訂正して下さい．

　ちなみに，このような方法でもローラン級数が見つかると，一意性からそれが与えられた円環内でもとの関数log(1＋1/z)のローラン級数になる事が保証されます．

No.6 回答者： siegmund 回答日時： 2003/08/03 23:33

siegmund です．

Rossana さんの No.4, No.5 拝見しました．

複素変数に拡張して(主値をとるので Log と書きます)，
1＜|z|＜∞ で
(1)　　Log(1＋1/z)＝1/z－(1/2)(1/z)^2＋(1/3)(1/z)^3－…
とローラン展開できること，
およびローラン級数の収束問題は円環で論じるべきこと，
は Rossana さんのいわれるとおりです．

ただし，
> z＝0が『孤立真性特異点』となります．
は誤解されています．
孤立特異点のまわりでは関数は正則です．
もうちょっと正確な言い方をすると次のようになります．
z_0 が関数 f(z) の孤立特異点であるとき，
適当な正数 R が存在して 0 < |z-z_0| < R の各点で f(z) は正則です．
すなわちローラン展開ができます．
孤立特異点が真性特異点であれば，ローラン展開の主要部が無限個あります
(つまり，いくらでも大きな逆ベキ項がある)．

では，今の Log(1+1/z) ではどうなっているかというと，
実軸の -1 と 0 の区間が切断になっています．
複素関数論でよく知られていますように，Log(w) は 複素 w 平面で
実軸の負の部分が切断になっています．
これは Log(w) の虚数部を -π から π に限定する結果，
w が実軸の負の部分を超えるときに Log(w) の虚数部が不連続に変化するからです．
で，Log(1+w) なら，切断は実軸の -∞ から -1 の間．
問題の Log(1+1/z) は z=1/w と写像したものですから，
w 表示で実軸の -∞ から -1 の間の切断は
z に移ると実軸の -1 からゼロの間の切断になります．

したがって，z=0 を中心とする半径 1 の円内ではローラン展開ができません．
これが Rossana さんのローラン展開ができる条件 1＜|z|＜∞ に対応しています．

No.7 回答者： Rossana 回答日時： 2003/08/04 23:06

siegmund先生，ご指摘ありがとうございます．

要は『孤立』という言い方はその特異点の周囲で正則でなければならないんですね．
つまり，この場合，z＝0は孤立していない真性特異点となるのでしょうか？
なんか回答じゃなくて逆に質問になってしまいました
f(^^)

No.8 回答者： siegmund 回答日時： 2003/08/05 10:46

siegmund です．

> 要は『孤立』という言い方はその特異点の周囲で正則でなければならないんですね．
その通りと思います．

> この場合，z＝0は孤立していない真性特異点となるのでしょうか？
z=0 と z=-1 は対数的分岐点というのが正しいと思います．
特異点に関しては私は次のように認識しています．

一価関数に対して
(I) 孤立特異点
　　(IA) 確定特異点
　　　　　(IA-1) 除去可能な特異点
　　　　　(IA-2) m 位の極(m: 自然数)
　　(IB) 孤立真性特異点
(II) 集積型真性特異点

多価関数に特有なもの
(III) 切断と分岐点

(IB) の例は exp(1/z) の z=0

(II) の例は 1/sin(π/z) の z=0
z=1/n (n:整数) は１位の極で，これらは孤立特異点です．
点列 1/n の集積点が z=0 になっています．

(III) の例が今の話で，z=0 と z=-1 が分岐点(対数的分岐点)，
その間の実軸が切断になっています．

所詮，物理屋の数学ですから細かいところは穴だらけです．
そもそも，「細かい」なんて認識がいかんのかもしれません．
解析学，関数論，などの専門家のご意見を伺いたいところです
(数学者なら常識なのかも知れませんが)．

> なんか回答じゃなくて逆に質問になってしまいました
わたしも似たようなパターンで他の回答者に教えてもらったことがあります．