すごく大きい数を素因数分解する方法について教えてください。

すごく大きい数を素因数分解する方法について教えてください。

問題：m,nを2以上の整数とする。√2009＝m√nのとき、m=(a) n=(b)である

この問題の答えがa=49 B=41でした。
解説には√2009＝√49×41＝7√41と書いてあります。

解き方は、2009が何で割れるか小さい数から順に試すしかないのでしょうか。
なにか早く解く裏ワザなどあったらいいな・・・と思いました。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： aurumnet 回答日時： 2010/09/10 05:04

√2009＝m√nより

√2009＝√n*m^2
となるので
2009=n*m^2となる
m=2,3,4・・・
と代入したとき
2009はm^2で割り切れるので
m^2=4,9,16,25,36,49・・・のどれかとなる
また2009は奇数なので偶数は除去。
m^2=9,25,49・・・
3つくらいなら割り算していってもいいですよね？
2009=41*(7)^2
がすぐ分かるはずです
ところで答えあってます？a=7,b=41だとおもうんですが・・・

この回答へのお礼

ありがとうございました。
答え、a=7です、間違ってました。
とてもわかりやすい説明でした！

＞2009=n*m^2となる
　
＞また2009は奇数なので偶数は除去。
＞m^2=9,25,49・・・

この通りに解いてみたら理解できました。
こういう基礎知識というんでしょうか、まったく勉強してこなかったので、
地道に１で割って、２で割って・・・・と延々と割り算の余りが二乗の数が出てくるまで
４１回も繰り返さないと解けないのか・・・と嘆いてました。
これだったら、数回割り算するだけで解けちゃいますね！
私にとって魔法のような解き方です♪
私は義務教育をずっと昔に終えた年齢ですが、
今頃になって勉強してこなかった過去を後悔し、
独学で勉強をしています。
嫌いを通り越して恐怖だった数字が、最近では分からないなりに、
楽しく感じる瞬間が増えてきてます。
こんな質問に同じ目線に立って答えてくださる皆さんに本当に感謝してます。
ありがとうございました！

お礼日時：2010/09/10 09:58

No.8 回答者： eauSak 回答日時： 2010/09/10 10:26

ちょっと違う側面から。

７×１１×１３＝１００１
というのを利用すれば、
２００９＝２×１００１＋７となるので、
７の倍数ということがわかります。
少し大きい数でも繰り返し１００１の倍数を引いていけば７か１３の倍数かどうかがわかります。

たとえば
６５６０２５８９は
６００６００００を引いて
５５４２５８９
５００５０００を引いて
５３７５８９
５００５００を引いて
３７０８９
３００３０を引いて
７０５９
７００７を引いて
５２
となるので、１３の倍数であることがわかります。

また、＃４の回答の補足みたいになりますが、

・９で割り切れる整数は各位の数の和が９の倍数である。
・１１で割り切れる整数は各位の数を交互に加減した数が１１の倍数である。

というのもあります。

たとえば、
８４２４９は
８＋４＋２＋４＋９＝２７なので９の倍数。
８－４＋２－４＋９＝１１なので１１の倍数。

No.7 回答者： juju6onchu 回答日時： 2010/09/10 09:54

★今回の問題は７で割れてしまうので、素因数分解の易しい問題です。

びびらずに、小さい数から順に割っていきましょう。

★基本は小さい「素数」から順に割っていくしかないです。素数は2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,・・と並びますが、
・まず偶数（＝１の位が0,2,4,6,8）ならば、２で割りますね。
・５の倍数（＝１の位が0,5）ならば、５で割ります。
（１の位が１０の場合は、１０＝２×５で割る）
それはどんな人でもやるでしょう。

それを繰り返せば、必ず１の位が 1,3,7,9 の数が出て来ます。（2,5 だけで割り切れたら、１が出る）

なので問題は１の位が 1,3,7,9 の時ですね。

これは 2,5 以外の素数、3,7,11,13,・・で順に割ってみるしかないです。

※中高の試験等の問題の場合、大抵この辺で割り切れます。

※割っていくのは素数だけで良いですので、２桁の素数はある程度知っておくと早いです。
２桁の素数の見分け方は、
「一の位が 1,3,7,9 のいずれかで、しかも 3,7 で割り切れない数」です。
（なぜか分かりますか？）
少なくとも 2,5 以外の素数は（2,5 で割り切れませんから）１の位は 1,3,7,9 のいずれかですね。
そこは押さえておきましょう。

すなわち 11,13,17,19 , 21,23,27,29 , 31,33,37,39 , 41,43,47,49,・・・, 91,93,97,99 の中から、3,7 で割り切れる数を除けば、２桁の素数が残ります。

そこを押さえて、車のナンバーなんかで素因数分解の練習をすると、すごく慣れますよ。

★これは他の方もいっていた裏技です。（ミスってましたが）　使える人（使う人）はごく小数です。

2009 = 2025 - 16 = 45^2 -4^2 = (45-4)(45+4) = 41×49 （=41×7×7）

因数分解の公式の応用です。
平方数（整数の２乗の数）をよく知っていなければ使えず、また、すぐ思いつく場合にしか使えません。

華麗ですが、基本は上です。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

＞すなわち 11,13,17,19 , 21,23,27,29 , 31,33,37,39 , 41,43,47,49,・・・, 91,93,97,99 ＞の中から、3,7 で割り切れる数を除けば、２桁の素数が残ります。

＞そこを押さえて、車のナンバーなんかで素因数分解の練習をすると、すごく慣れますよ。


このアドバイスですが、私の場合、考え込んじゃって事故りそうです・・・
助手席に乗るとき限定で訓練してみます！

お礼日時：2010/09/10 10:32

No.6 回答者： testman199 回答日時： 2010/09/10 08:22

4桁くらいなら良いのですが、それ以上となると。

。。
基本的に素因数分解は大変です。
大変なので暗号化技術で使われます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
暗号化技術というのがあるんですね。
調べてみます！

お礼日時：2010/09/10 10:24

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/09/10 08:19

２００９に含まれている素数は７以上であるというのはすぐに分かります。

（＃４の回答）
・偶数ではない、
・３の倍数ではない、
・５の倍数ではない、

７，１１，１３、・・・です。
２００９＝ｍ×ｍ×ｎになりますから、７以上の素数のどれかが２つ入っていなければいけません。
（１）７が２つ入っていれば残りは、・・・
（２）１１が２つ入っていれば残りは、・・・
（３）１３が・・・

（１）を調べた段階で残りが４１という素数になりますから（２）から後の可能性はなくなります。

おまけ
７で割りきることができる

６桁の数字だとします。
ａｂｃｄｅｆ

Ｓ＝－２ａ－３ｂ－ｃ＋２ｄ＋３ｅ＋ｆ
が７の倍数であれば、全体も７の倍数です。
２００９は９－２＝７ですから７で割り切れます。
－５４≦Ｓ≦５４ですから九九の範囲です。

でも割り算を実行する方が速いかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
とてもわかりやすい説明でした！
おまけの７で割り切れる６桁の数字の話も勉強になりました。
知ってたら役立つ考え方ってたくさんあるんですね！

お礼日時：2010/09/10 10:22

No.4 回答者： staratras 回答日時： 2010/09/10 06:24

裏ワザではなく、以下のことは基本的な知識だと思います。

１、２で割り切れる整数は１の位が０、２、４、６、８のいずれかである。
２、３で割り切れる整数は各位の数の和が３の倍数である。
３、５で割り切れる整数は１の位が０、５のいずれかである。

この問題の場合2009はどの条件も満たしません（２、は2+0+0+9=11 ３の倍数でない）
したがって素数の約数があるとすれば７以上なので、まず７で割ります。
2009÷7=287 幸い割りきれました。
287についても同様に考えて７で割ります。
287÷7=41 また割りきれました。

ここで41は上の１、２、３のどの条件も満たしませんし、7×7=49>41 なので素数であることがわかります。
ある整数がその整数の平方根以下（念のためですが「以下」という場合はその数ちょうどの場合も含みます）の素数で割りきれなければ素数である。ということも基本的な知識です。

つまり 2009=7×7×41 なので、√2009=7√41 になります。
地道にやってもさほど手間はかからないと思いますが…。

この回答へのお礼

すみません、数学どころか、算数の基礎知識が全くないので、
まずそのあたりに戻って勉強してみます！


＞１、２で割り切れる整数は１の位が０、２、４、６、８のいずれかである。
＞２、３で割り切れる整数は各位の数の和が３の倍数である。
＞３、５で割り切れる整数は１の位が０、５のいずれかである。

このアドバイスの中の２は知りませんでした。
電卓を使って適当な数字でやってみたら本当、その通りになりました。
桁をどんどん増やしても３の倍数になって、感動しました！
ありがとうございました。

お礼日時：2010/09/10 10:16

No.3 回答者： sotom 回答日時： 2010/09/10 05:11

外国では九九以外にもn^2を覚えさせます。

例えば、31^2=961とかですね。

中学レベルだと、(a+b)(a-b)=a^2-b^2というのは誰でも知っています。

この2つを知っていれば、45^2＝2045だから、2045-36＝2009。

裏技という安直な思考法では応用力は身につきません。
その考え方が、数学力の伸びを妨げています。
実際、私立中学受験あたりの問題ですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
小学生でも解けちゃう問題なんですね・・・
大人の私が解けなくて恥ずかしいです。

＞裏技という安直な思考法では応用力は身につきません。
＞その考え方が、数学力の伸びを妨げています。

おっしゃる通りです。
せめて普通レベルの問題が解けるようになりたいです。
地道にがんばります！

お礼日時：2010/09/10 10:07

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/10 05:06

こういう2桁の数の掛け算の数学を習わなかったですか？

上位桁が同じで下位桁の和が10になる2桁の掛け算計算法は
上位桁は片方に１を足して掛ける→4桁の上位2桁とする
下位桁はそのまま掛ける→4桁の下位2桁とする

26x24=624
27x23=621
47x43=2021
48x42=2016
49x41=2009
など上の計算法通りか確かめて見てください。

今の場合 2009の上位2桁
を
20=4x(4+1)
と分解して　上位桁を4と決定

2009の下位2桁を
足して10になるように分けられるか？

09=1x9→1+9=10 (分けられたね)

上位桁は同じ4,下位桁は1と9だから

2009=49x41
=7^2x41
2009=7√41

となります。

このような雑知識を沢山積んでおけば、2桁の掛け算も組み合わせによっては早くできる。
あと、2～13で割り切れる整数の見分け方も覚えておくといいね。
参考URL
http://iiaoki.exblog.jp/12493065/

参考URL：http://iiaoki.exblog.jp/12493065/

この回答へのお礼

＞このような雑知識を沢山積んでおけば、2桁の掛け算も組み合わせによっては早くできる。
＞あと、2～13で割り切れる整数の見分け方も覚えておくといいね。

アドバイスありがとうございます！
早く計算できるように知識を付けて頑張ります。

お礼日時：2010/09/10 10:02