累積密度関数の平均値と標準偏差の求め方

累積密度関数の平均値と標準偏差の求め方

ある累積密度関数の平均値と標準偏差でもとめた値(X、Y)が20個ほどあります。
この値から平均値と標準偏差を求めるにはどうしたら良いでしょうか。

単純な式なら連立方程式で解けるとは思いますが。。。
できればエクセル等でできたら嬉しいです。

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 22:09

ようやく、何がしたいのかが見えてきた(ような気がする)。

改めて、尋常な言葉へ翻訳を試みよう。

画像のような関数 P(I) の値が、I, P(I) の対で 20 組与えられている。
この値から、λ と ζ を求めるにはどうしたら良いか。


P(I) が正規分布の累積分布関数であることや、
λ と ζ がその平均と標準偏差であることは、
問題の内容にはあまり関係がない。

連立方程式として解くなら、具体的な手技はともかく、原理的には、
データは 2 組で足りるはず。20 組もあると、データが過剰なために、
全ての組が誤差なく I, P(I) の対になっている訳ではないことが
露わになってしまう。

してみると、与えられた 20 組の I, P(I) に対して、
誤差が最小になるような λ と ζ を求める問題であるらしい。
「曲線の当てはめ」ってやつだ。
No.2 補足は、前半を無視して、下の２行を読めばよかったのか。

この問題を解くためには、曲線を当てはめる際に
何を「誤差」と定義して、それを最小化する λ と ζ を求めるのか、
要するに、どのような意味で最適な曲線を当てはめたいのか
…を確認して明記する必要がある。
それをして初めて、問題が定義されたことになる。

この回答への補足

色々とありがとうございました。
やはり確率の問題ではなかったようですね。

連立方程式は最小二乗法で解きました。
こちら側からのアプローチははじめから分かっていました。
ただ、確率は専門外だったので独特の解き方があるかと質問しました。
以上です。

補足日時：2010/09/16 09:45

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 19:15

普通の言葉へ翻訳を試みよう。

No.2 補足を見ると、どうも、

1. 平均値 A、標準偏差 B を持つ確率変数 x
があるとする。
2. x の独立なサンプル 20 個が与えられている。
3. A と B を推定したい。

…という話のような気がする。

ただし、それだと、データは x が 20 個で、
(x,y) が 20 個という形にはならない。

まだ、読みとれていない部分がある。

この回答への補足

画像で関数を表示しました。
(因みにこの関数はなんという名前なのでしょうか)

この関数を使用して求められた値があります。
I　P(I)
5.5 0.002
5.6 0.004
5.7 0.007
5.8 0.012
5.9 0.02
6.0 0.031
6.1 0.048
6.2 0.072
6.3 0.104
6.4 0.145
6.5 0.195
6.6 0.255
6.7 0.323
6.8 0.397
6.9 0.476
7.0 0.556
7.1 0.556
7.2 0.556
7.3 0.556
7.4 0.556
7.5 0.556

これしか与えられていない状態で
I=5.53
の場合のP(I)を求めたいのです。
これで分かるでしょうか。

なにぶん素人なので、専門的なことはここ何日しかしていません。

補足日時：2010/09/15 20:04

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 18:56

謎は、深まるばかり。

恐らく、言葉の使い方が独特で、
文章どおりに解釈してはいけないのだろう。

「○○の平均値」といえば、正しくは、
○○に確率密度を掛けて積分したもののこと。
確率変数 x が確率密度関数 f(x) に従うとき、
g(x) の平均値は ∫ g(x) f(x) dx となる。

x の累積分布関数が F(x) であれば、
確率密度関数は dF/dx だから、

「累積分布関数の平均値」は、∫ F dF/dx dx。
A = lim[x→+∞] (1/2)Fの2乗 = 1/2 になる。

たぶん、そういう話ではない気がする。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 17:44

さて、次に、

「ある累積分布関数の平均値と標準偏差で
求めた値(x,y)が20個ほどあります。」
とは、何？
与えられた累積分布関数に独立に従うサンプルが
20組ほどあり、各サンプルの平均値と標準偏差が
わかっている ということ？

この回答への補足

説明って難しいですね。

順を追うと

1.ある集合から累積分布関数の平均値Aと標準偏差Bを求めたとします。
2.このAとBを使った累積分布関数から求めた値がこの20個（20組）です。
3.このAとBが不明でこれを求めたいのです。

別の表現をすると、YX平面上に20点既知の点が存在し、それを全て通る関数を求める感じでしょうか。
その関数が累積分布関数になる感じです。

補足日時：2010/09/15 18:09

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 16:35

「累積密度関数」って、何？

確率密度関数なんだか、
累積確率分布関数なんだか、
はっきりさせないと。

この回答への補足

申し訳ありません。

資料には「累積確率密度関数」となっています。
多分「累積分布関数」のことだと思います。

よろしくお願いします。

補足日時：2010/09/15 17:10