微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?

微積を使わずに球の表面積や体積を求めるには?
高3で微積を習うまでずっと疑問だった球の表面積と体積の公式ですが
微積を使わずに求めるにはどうしたら良いでしょうか?
錐体の体積が柱体の体積の1/3になることは使って良いこととしたいと思います
(従って、表面積でも体積でもどちらか一方の求め方がわかれば十分です)。

また「求める」程でなくとも「直感的に理解できる」程度でも結構です
(例「球の表面積は、直径を含む球の断面のちょうど4倍になるんだなぁ」)
が「球形や円柱形の容器に入れる」ようなものではなく
あくまで思考実験で理解できるようなものでお願いします。

↓のような質問は見かけたのですが
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/318118.html
No.2も4も明らかに微積を使ってますよね。

ちなみに中学生とかに教えることを目的としたものではなく
高3までに公式の理由を知る方法があったのかどうか個人的に知りたいだけです。

No.1 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2010/09/21 22:01

これなんかどうかしら。

http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/ktaiseki/kt …

この回答へのお礼

質問前にカヴァリエリの原理までは辿り着いていたのですが
それを使って求める方法までは気づきませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/09/22 16:53

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/22 13:48

曲線の長さとは何か？という深遠な問題もありますが、

lim[n→∞] nr sin(π/n) = πr を示せば
一応の説明にはなると思います。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/22 09:49

円積率が円周率に等しいことを

積分なしで示すのは、難しいと思います。

小学生にもわかるように というのは、
円を扇形に等分して、交互に組み合わせると、
分割数を増やした極限が長方形になる
という例のアレでしょうか。

あの説明は、不用意に「わかりやすい」けれど、
高校範囲の知識でも解る誤魔化しを含んでいます。
分割変形の操作が面積を変えないことは問題ありませんが、
極限の長方形の一辺が円周の半分になることは
直感的に自明とは言えません。
その部分の証明は、円の面積を積分するよりも
ずいぶん難しい計算を要します。
小学生なら、納得してしまうのでしょうが。

この回答への補足

再度の回答ありがとうございます。
極限の長方形の一辺が円周の半分になることは高校数学レベルで証明できますか?

回転体の体積の公式では、円の面積の公式を使っていると思いますが
ごまかしに気づかないまま無批判に使ってしまっていました。

補足日時：2010/09/22 12:30

No.3 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/09/22 00:45

球の体積や表面積の公式を見出したのはアルキメデスだと言われています．

アルキメデスの時代には，もちろん，今日的な微積分の体系は存在しませんでした．
それでは，アルキメデスはどうやって球の体積や表面積を求めたのか？
そのアイデアの説明は「球 体積 アルキメデス」でウェブ検索するとたくさん見つかります．それらの説明の前提となる知識は中学までの数学でカバーされていると思います（円の面積，柱体の体積など）．

アルキメデスの時代における困難は，当時は「極限」という考えの正当性が認められていなかったことです．そのため，今日的には「極限をとる」という一言で済ませてしまえるところを，アルキメデスは「取り尽くし法」という論法を編み出して克服したのです．

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/21 23:40

何らかの積分はしないと、式の中に π が出てこないよ。

円周率は、代数的数ではないから。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
円の面積を求める方法はは、考え方としては微積ながら
小学生にもわかるように説明していますよね。
その程度の意味ですが、それでも不可能でしょうか?

補足日時：2010/09/22 08:45