『1次式fn(x)(n=1,2,3・・・・)が
f1(x)=x+1
x^2f(n+1)(x)=x^3-x^2+∫(0→x)tfn(t)dt(n=1,2,3・・・・)
を満たすとき、fn(x)を求めよ。』
という問題が分かりません。
とりあえず定積分のとこは積分したらxの関数になるってことと、f(n+1)とfnから漸化式かなぁてことくらいしか分かりませんでした。
※f(n+1)は問題ではfn+1って書かれてます。わかりやすくするためにこう書きました。よく数列で出てくるfのn+1番目って奴です。
どうかよろしくお願いします!
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
b[n]を間違えてました。
b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=3×(1/2)^(n-1)-2
以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + 3×(1/2)^(n-1)-2
※:答と違うようですが...。
回答していただき有難うございます。
恥ずかしい話ですが、問題間違えてました(苦笑
『x^3-x^2』というところが『x^3+x^2』でした。ホントにすみません。
ですがspringsideさんのやり方で解いたら答えと一致しました。ありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
こんな感じですかね。
fn(x)=(a[n])x+(b[n])と置く。(a[n]とb[n]は数列です。)
すると、a[1]=1,b[1]=1である。
与式より、
x^2{(a[n+1])x+(b[n+1])}=x^3-x^2+∫(0→x)t{(a[n])t+(b[n])}dtである。
右辺の積分を計算すると、
右辺={(1/3)a[n]+1}x^3+{(1/2)b[n]-1}x^2
となるから、両辺のx^3、x^2の係数を比較して、
a[n+1]=(1/3)a[n]+1 …(1)
b[n+1]=(1/2)b[n]-1 …(2)
(1)より、
a[n+1]-(3/2)=(1/3){a[n]-(3/2)}
これは、数列a[n]-(3/2)が、公比1/3の等比数列であることを意味しているから、
a[n]-(3/2)={a[1]-(3/2)}×(1/3)^(n-1)
よって、
a[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)
(2)より、
b[n+1]+2=(1/2){b[n]+2}
これは、数列b[n]+2が、公比1/2の等比数列であることを意味しているから、
b[n]+2={b[1]+2}×(1/2)^(n-1)
よって、
b[n]=(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)
以上より、
fn(x)={(3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)}x + (3/2)-(1/2)(1/3)^(n-1)
注:(1)、(2)からa[n]、b[n]を求めるところで、3/2とか2の発見の仕方は参考書等を読んでください。
No.1
- 回答日時:
順番にやってみたらどうですか。
(1+1/3+1/3^2+・・・+1/3^(n-1))x+(1+1/(-2)+・・・+1/(-2)^(n-1))
になりそうな
厳密には数学的帰納法
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