素材の異なる２つの棒が倒れる速度

素材の異なる２つの棒が倒れる速度
たとえばφ１０ミリの鉄の棒と、同じ長さ太さの塩ビ管を、下を止めて同じ角度に傾けて手を離した場合倒れる速度は同じでしょうか？
空気抵抗とか浮力を無視すれば、自由落下と同じと考えていいのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/13 15:39

棒がとめられた点のまわりの回転運動の方程式は

慣性モーメント　×　角加速度　＝　力のモーメント　（１）
です。いま、ふたつの棒が同じ形で、密度分布がそれぞれ一様であれば、慣性モーメントと力のモーメントは、いずれも棒の質量に比例します（棒がとめられた箇所で力のモーメントがかからないとします）。よって、角加速度は棒の質量に依存しないことになり、棒の倒れ方は空気抵抗などが無視できれば同じになります。その点では自由落下と同じです（しかし下参照）。

倒れる棒の重心の速さは（１）式を解いても得られますが、エネルギーの保存則から求める方が簡単でしょう。

長さ 2a、質量 m の一様な棒の、その一端のまわりの慣性モーメントは
I = (1/3) m a^2 + m a^2 = (4/3) m a^2 。　（２）
回転運動のエネルギーは、回転角速度をωとして、(1/2) I ω^2 。
棒の位置エネルギーは、重力加速度を g、重心の高さを h （基準の高さは適当）として、m g h 。
棒を止めている点から働く力は仕事をしないとします。
すると、エネルギー保存則は、倒れ始めるときの重心の高さを h0 として、
(1/2) I ω^2 + m g h = m g h0
と書けます。ここに（２）式と重心の速さ
v = a ω
を使うと
(1/2) (4/3) m a^2 (v / a)^2 = m g (h0 - h)
より
v^2 = (3/2) g (h0 - h) 。　（３）
この結果から、v が m に依存しないことを確認できます。a にも依存していないように見えますが、h0 - h を通じて間接的に依存しているということもできます。

ちなみに、質点の鉛直自由落下運動では
v^2 = 2 g (h0 - h)
なので、（３）式の v はこれよりやや小さいことになります。

この回答へのお礼

早々のご回答をありがとうございました。
自由落下と同じ考え方でいいのかなと思っていましたが、一端が止まっているため重心が横方向にも移動する、ｇ以外の力が加わるのかなと思い、行き詰まっていました。

エネルギーの保存則は思いつきませんでした。すっきりしました！

お礼日時：2010/10/14 08:59