移流拡散方程式の微分が含まれていない解を教えて下さい。

移流拡散方程式の微分が含まれていない解を教えて下さい。

土壌中の化学物質量が、時間tが経過するとともに土壌深度xにむかって拡散、移流するのを考えています。

エクセルでどんな風に変化するのかをみたくて、
まずは拡散方程式の基本解p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP(-x^2/4Dt)をt=0-0.1(0.01間隔),x=0.1-1（0.1間隔）で計算してみたところ、時間経過とともに拡散するグラフがかけました。

次に移流を追加してみようと、移流方程式の基本解を調べてみたもののよくわからず、
移流の式？p(x,t)=x+tをp(x,t)=(1/√4πDt)*EXP(-x^2/4Dt)に加えてみましたが、全然うまく行きません。

そして、差分法の近似解で二つを足して求めてみましたがこれもうまくいきません。

移流によってピークがどんどん深い方向に現れるはずなのですが、ピークの深度が変わりません。

直接足せばいいというわけではないのですか？
（p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP(-x^2/4Dt)+x+t とか）

どなたかエクセルで移流拡散方程式を計算できる方法を教えていただけないでしょうか。
知りたいのはp(x,t)（ある時間、ある深度における化学量）です。

また、私はtを年単位（1年、2年・・・）で計算したいのですが、tを1間隔でやるとすごい数になってしまいます。
tはどうやって設定すればよいのでしょうか。

大変恐縮ですが、お力をお貸しいただければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/14 07:52

素人のコメントです。

（１）地表で x = x0 とすると、x < x0 には土が存在しないにも関わらず、x = 0 から上下に対称的に拡散する場合の解
p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP(-x^2/4Dt)　（＊）
を使ってよいのだろうか、という疑問をもちました。

（２）深さ方向の拡散だけでよいのだろうか。水平方向への拡散は無視できる状況なのだろうかとも思いました。

（３）もし（＊）式が適用できるのであれば、移流の効果については
http://thesis.ceri.go.jp/center/doc/geppou/ceri/ …
が参考になるかもしれません。その（１５）式を見ると、流速を u として
p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP{-(x-ut)^2/4Dt}
となるように思えます。（ただし、いまの場合の流速の意味がよくわかりません。）

（４）
>tはどうやって設定すればよいのでしょうか。

（＊）式にある x^2/(Dt) は無次元の量だと思いますから、x^2/D と同じ単位を使われたらよいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございました。

（１）についてですが、確かにその通りです。。対照的な拡散の式を使っていたからピークが移動しなかたことに気付きました。

p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP{-(x-ut)^2/4Dt}をエクセルで計算しましたが、やはりピークがでる深度が変化しなかったです。

もう一度土壌中の移流拡散方程式を探してみます。

重要なことに気付かせていただき、本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/10/14 12:30

No.3 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/14 18:32

>この式も移流によってピークがずれますか？

erfc((x-vt)/2√Dt) の部分はそうだと思いますが、その後ろの項については私にはわかりません。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございました。
x-vtが入ってるので、ピークがすれるような気はしています。

もういちどエクセルで頑張ってみようと思います。

本当に助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/10/14 23:25

No.2 回答者： -ok 回答日時： 2010/10/14 13:34

>p(x,t)=(1/√4πDt)*EXP{-(x-ut)^2/4Dt}をエクセルで計算しましたが、やはりピークがでる深度が変化しなかったです。

計算がどこかで間違っていると思います。上の式は、ピークの位置が x = u t に従って移動することを示しています。

この回答へのお礼

すみません、できました！xの間隔を変えたらできました。お騒がせしました。。

ちなみに
p(x,t)=Po*1/2*((erfc((x-vt)/2√Dt))+exp(vx/D)*(erfc((x+vt)/2√Dt)))

という解を
http://www.ekouhou.net/%E5%9C%B0%E7%9B%A4%E6%94% …
で、見つけたのですが、（土壌中のイオン濃度の変化の式なのでおそらくこちらを使うべきなのかなと）

この式も移流によってピークがずれますか？

エクセルでやってみたのですか、ピークが下方にずれていかないのです。。。
私の計算ミスでしょうか。

お礼日時：2010/10/14 16:34