【数III】ある点Ｐから曲線Ｙ=sin^2Ｘに引いた２本の接線が直交するよ

【数III】ある点Ｐから曲線Ｙ=sin^2Ｘに引いた２本の接線が直交するような点Ｐを定めよ。但し、０≦Ｘ≦πとする。

試しに接点を２つ文字で置いてみたのですが、解けそうにありません。。。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/21 10:25

#2です。

図がついていませんでしたので添付します。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/10/21 10:21

>但し、０≦X≦πとする。

この X の範囲の意味が次のどれですか？

(1)
Y=sin^2(X) 但し、０≦X≦π
グラフのx座標の範囲なのか？

(2)
2本の接線の接点Q,RのX座標が０≦X≦πに入るものなのか？

(3)
交点P(X,Y)のX座標が０≦X≦πに入るものなのか？

Y'=2sinXcosX=sin(2X)なので2本の接線の傾きm,nは
-1≦m,n≦1かつ直交条件からmn=-1なので
m=-1,n=1またはm=1,n=-1

(1),(2)の場合は
２接線は
y=x-π/4+1/2,y=-(x-3π/4)+1/2
接点はQ(π/4,1/2),R(3π/4,1/2)で交点はP(π/2,π/4+1/2)

(3)の場合は
交点Pはnをn=0,±1,±2,…として
(0,1/2-π/4±nπ),(π/2,1/4-π/8±nπ/2),(π,1/2-π/4±nπ)
となります。この場合の接線や交点Pや接点QとRの座標は図を下さい。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/20 20:44

　２つの接点の座標を(a,sin^2(a)),(b,sin^2(b))と置きますと、2本の接線は

　　y=x sin(2a)+sin^2(a)-a sin(2a)　
　　y=x sin(2b)+sin^2(b)-b sin(2b)
　　　ただし、0≦a<b≦π
となります。
　この2本の接線は直交しますので、傾きの積が－１になることから
　　sin(2a) sin(2b)=-1　・・・（1）
となります。
　ところで、-1≦sin(2a),sin(2b)≦1 ですので、式（1）を満たすaとbは次のように求められます。
　　(sin(2a),sin(2b))=(±1,干1)　（複号同順）
　∴(a,b)=(π/4,3π/4)

　この(a,b)の値を2つの接線の方程式に代入しますと、
　　y=x+1/2-π/4
　　y=-x+1/2+3π/4
となりますので、ここから交点 P(π/2,π/4+1/2) が得られます。