高校数学Ⅱ

0≦θ＜2πのとき、次の方程式を満たすθの値を求めよ。
(1)sinθ-cosθ=-1/√2
(2)cosθ+√3sinθ+1=0
途中の式もお願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/11/14 07:51

前の回答者の方は解の値域を吟味してませんね。

(1)
sinπ/4=cosπ/4=1/√2
であることを利用して
sinθ-cosθ=-1/√2
sinθcosπ/4-cosθsinπ/4=-1/2
sin(θ-π/4)=-1/2
0≦θ<2π なので
-π/4≦θ-π/4<7π/4
この範囲で sin が -1/2 となるのは
θ-π/4=-π/6, 7π/6
θ=π/12, 17π/12

(2)
sinπ/6=1/2, cosπ/6=√3/2
であることを利用して
cosθ+√3 sinθ+1=0
sinπ/6 cosθ+cosπ/6 sinθ+1/2=0
sin(θ+π/6)=-1/2
π/6≦θ+π/6<13π/6
の範囲で sin が -1/2 となるのは
θ+π/6=7π/6, 11π/6
θ=π, 5π/3

この回答へのお礼

大変分かりやすい説明、ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/14 17:06

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/14 13:03

＞解の値域を吟味してませんね。

あ、ほんとだ。
0 ≦ θ < 2π となる n はそれぞれの解にひとつづつ
だから、それをみつけておかないとね。

No.1 No.2 の計算は、n を含んだ一般解を示すときに
三角関数を cos に合成したほうが sin に合成するより
ちょっと扱いやすいよ... という点がポイントだったんだけど。
とほほ.

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/11/14 08:25

(1)

(sinθ-cosθ)²=1/2
２sinθcosθ=1/2
sin2θ=1/2
2θ=30°、θ＝１５°

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/14 00:29

あ、間違った。

(1)
「三角関数の合成」を行うと
(√2)(-cos(θ + π/4)) = -1/√2 となって、
cos(θ + π/4) = 1/2.
cos(π/3) = 1/2 であることを知っていれば、
cos(θ + π/4) = cos(π/3) より
θ + π/4 = ±π/3 + 2πn　(nは整数).
この cos を外す部分には、cos の対称性と周期性に関する知識が要る。
θ = - π/4 ± π/3 + 2πn
　= π/12 + 2πn　or　- (7/12)π + 2πn.

(2) も同様。
「三角関数の合成」を行うと
2 cos(θ - π/3) + 1 = 0 となって、
cos(θ - π/3) = - 1/2 = - cos(π/3) = cos(π/3 + π).
よって、θ - π/3 = ±(π/3 + π) + 2πn　(nは整数) より
θ = π/3 ± (π/3 + π) + 2πn
　= (5/3)π + 2πn　or　- π + 2πn.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/14 00:19

a sinθ + b cosθ という形の式を扱いやすくするには、

r = √(a^2+b^2), sinα = a/r, cosα = b/r となる α を見つけて
a sinθ + b cosθ = r(sinαsinθ + cosαcosθ) = r cos(θ - α)
などとする。 これを、高校の教科書では「三角関数の合成」と呼ぶ。
関数の合成と言っても sin(sinθ) とかの話じゃないから、
なんだか奇妙な用語だけれど。

この問題で「三角関数の合成」を行うと...
(1)
(√2)(-cos(θ - π/4)) = -1/√2 となって、
cos(θ - π/4) = 1/2.
cos(π/3) = 1/2 であることを知っていれば、
cos(θ - π/4) = cos(π/3) より
θ - π/4 = ±π/3 + 2πn　(nは整数).
この cos を外す部分には、cos の対称性と周期性に関する知識が要る。
θ = π/4 ± π/3 + 2πn.