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平面上の2直線をl,mとし、それに垂直な直線をnとする。
2直線l,mの交点をOとし、Oを通る平面上のl,m以外の任意の直線をsとする。
平面上でOを中心とした適当な半径の円を描き、直線lとの交点をA,A'、直線mとの交点をB,B'とする。
また、OD=OAとなる直線n上の点をDとする。
線分ABと直線sとの交点をC、線分A'B'と直線sとの交点をC'とする。
(もし、線分ABと直線sとの交点がない場合は、BとB'を交換すれば必ず交点が存在します)
以上から、
AC=A'C'、かつ、△ABDと△A'B'Dは合同なので、
△ACD、△A'C'Dは合同
よって、CD=C'Dであり、△CC'Dは二等辺三角形となる。
OはCC'の中点なので、∠CODは直角となり、直線sは直線nと垂直である。
平面上のすべての直線は、Oを通る平行な直線が存在するので、直線nは平面上のすべての直線と垂直になる。
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