境界値問題と初期値問題ってどう違うのでしょうか？（数値解析）

数値解析の勉強をしているのですが，この２つの
違いがよくわかりません．わかりやすい言葉で説明
するとどういう事なのでしょうか？

解析しているのは流体力学で，バーガーズ方程式等を
やっているのですが，

よろしくお願いします．

No.2 ベストアンサー 回答者： ElectricGamo 回答日時： 2003/08/19 13:48

数学的には同じでしょうが、数値解析上は大きな違いがあります。

特殊な場合を除いて、境界値問題の方が、初期値問題よりも解くのが難しいです。そして、応用上は、多くの問題で境界値問題が絡んできます。

（対象とするのが、常微分方程式であるのが、偏微分方程式であるのか、それが楕円型、双曲型であるのか等、背景にはいろいろとあるのですが、それらはこの際飛ばしますので、細かいところに厳密さを欠くことをご容赦下さい。）

初期値問題は、与えられた初期値を満たす解を求めるもので、物体の落下で例えるのなら、t=0でz=0の高さから初速度v0で落とすときに t 秒後の位置と速度を求めるような問題です。運動方程式が与えられていたら、それをそのまま積分すれば落下軌道は求まります。

一方、境界値問題とは、物体の落下問題で例えるのなら、t=0 で高さz=0からある初速度で落とし、z=-hにおいて速度が v1 になるような落下軌道を求めるような問題で、この場合t=0においてすべての状態量が分かってはいませんので、素朴に運動方程式を積分してくことは出来ません。いろんなアルゴリズムがあるのですが、一番単純なのは、初速度を仮定して、運動方程式を積分し、z=-h で v1 になるように初速度を修正していくものです。この場合、修正過程で初期値問題を何度も繰り返し解くことになります。初期値問題の発展タイプです。

もう一つ、例えは悪いかも知れませんが、キャッチボールに例えるならば、ボールを単に投げるのが初期値問題、相手のグラブめがけて投げるのが境界値問題です。後者の方が難易度が高いです。

（流体の場合は、流入部や流出部、壁面などで、境界条件が与えられ、また、同時にある時間における流れの状態も指定されることが多いですから、境界値問題でもあり初期値問題でもある初期値境界値問題を解くことになります。定常解を求める場合には、初期値には依存しないので境界値問題となりますが、実用上は、通常の非定常計算コードを用いて初期値問題として解きはじめ、十分な時間まで走らせて収束解を求めます。ですので初期値問題を解くことに変わりはありません。）

どの場合において、初期値問題を解くのが基本となりますから、その手法は身に着けておいた方がいいです。

No.5 回答者： noname#5562 回答日時： 2003/08/21 11:22

境界値を使って解く時は境界値問題といえるんじゃないですか？専門家ではないので満足な回答をすることできません・・・すみません

No.4 回答者： noname#5562 回答日時： 2003/08/20 13:05

こんな認識の仕方でいいんじゃないかなぁ・・・

初期値問題：ある基準とした時間がゼロのときの物体の状態を使って解く問題

境界値問題：ある時間で流体と物体の境目の状態を使って解く問題

と思ってます。なんか同じ問題を解いてそうだったので、メールせずにはいられませんでした。これは何かに基づいて書いているわけではないので間違っているかも知れませんが、自分が解いていて何の支障もなかったので書いてみました。

この回答への補足

定常計算なんかは境界値問題の一つなのでしょうか？

補足日時：2003/08/20 14:14

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/08/19 19:29

masa2-1さん、こんんにちは。

ご存じと思いますが、双曲型方程式と放物型方程式に対して定式化されるのが初期値問題、楕円型方程式に対して定式化されるのが境界値問題だと思います(そんなことぐらい知ってると言われそうですが)

この回答へのお礼

いえ，知りませんでした（笑）
ご丁寧にありがとうございました．

お礼日時：2003/08/20 12:42

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2003/08/19 12:39

同じような者です。

変数が時間か位置かが違うだけです。
時間と位置を単なる変数と考えれば数学的には同じです。
ｘ，ｙ，ｚとｔですが
ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４とすれば区別は付きません。