位数36巡回群の生成元

位数36の巡回群 Z/36Z＝{0,1,・・・,35} の生成元となりうる元を列挙せよ。

わかりません。。よろしくお願いします！！

No.1 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/11/28 07:34

( Z/36Z )* は乗法群になりますが、その元をすべて書けば、それがそのまま答えになります。

巡回群 Z/36Z の生成元となり得るのは、位数が 36 の元だけです。
( 5, 36 ) = 1 なので、5 は生成元の一例です。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/11/28 07:49

各元の位数を順に求めて補足にどうぞ。

No.3 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/11/28 08:26

ちなみに、巡回群 Z／36Z の生成元は 12 個あるようですので、

5 ^ 12 ≡ 1 ( mod 36 )

が成り立ちます。

ただ、群 ( Z／36Z )* において、5 の位数 は 6 なので、

5 ^ 6 ≡ 1 ( mod 36 )

も成り立ち、

5 ^ n ≡ 1 ( mod 36 )

を満たす最小の自然数が 12 というわけではありません。

生成元は他にもあるので、電卓を使って、いろいろ調べてみるのがお勧めです。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/28 14:49

Z/36Z＝{0,1,・・・,35}

　
|Z/36Z|=36=2^2*3^2
　
Z/36Zの位数36と互いに素な元および1が生成元となるので
36=2^2*3^2と互いに素な元をリストアップすればよい。
つまり、35とZ/36Zの元iのうち、共通因数が1となる元を拾い出せばよい。
（i,36)=1(i=0,1,2, …35)を満たす全てのiを求めればよい。
∴i=1,5,7,11,13,17,23,5*5=25,29,31,5*7=35

∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020 …

No.5 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/11/28 16:45

>>∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>

左辺の表記がおかしい。

右辺も、19 が忘れられている。

No.6 ベストアンサー 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/11/28 20:04

済みません。

さすがに、

>>|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>

はおかしいけれど、

Z／36Z = < 1, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 25, 29, 31, 35 >

であれば、一応は正しいですね。

ただ、本当に書きたかった式は、

Z／36Z = < 1 > = < 5 > = < 7 > = ・・・ = < 17 > = < 19 > = < 23 > = ・・・ = < 35 >

なのではないでしょうか。

あと、質問者様は Z／36Z を乗法群だと勘違いしてはいませんよね。

( Z／36Z )* は乗法群ですが、Z／36Z は加法群です。

No.7 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/29 03:09

#4です。

#1さん、A#5,A#6の指摘どおりで、凡みすでした。
指摘ありがとう。
＃ミスをそのまま放置するところでした。

A#4の以下のところは訂正して下さい。

>∴i=1,5,7,11,13,17,23,5*5=25,29,31,5*7=35
∴i=1,5,7,11,13,17,19,23,5*5=25,29,31,5*7=35
(転記ミスでした。)


>∴|Z/36Z|=<1,5,7,11,13,17,23,25,29,31,35>
∴Z/36Z=<1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35>

うっかりミスでした。

失礼しました。

参考URL
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020 …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/巡回群