人気マンガがだれでも無料♪電子コミック読み放題!!

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

「円盤の慣性モーメントが求めれません。」の質問画像

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

慣性モーメントの定義から入りましょう。


回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)
    • good
    • 14

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む

Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球(質量M、半径R)の1つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径rよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は1よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は1/2よりも小さくなります。2/5<1/2ですね。3/5とか4/5が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式 力=質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント=慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力=質量×加速度 の両辺に回転半径rをかけたあと
加速度=半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
(rの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。)

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントについて質問です

円盤の問題でわからなくて困っています
質量の限りなく小さな半径「r」の円盤があり、円板の外周に90度間隔で質量「m」の重りを4つ付加した場合の円板の慣性モーメント「I」の求め方を教えてください!

Aベストアンサー

 慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り(大きさは無視できるとする)があれば、mr^2(^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える)になります。

 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろあり過ぎてしまう)。重りを●で表すと以下の感じですね。

  ●
●┼●
  ●

 これが固定されずに回るなら、この画面に対して水平に回るか(┼ →X→┼ のようになる)、上下の●は動かずに左右の●が画面に対して垂直に動き出すか(┼の縦の|は真っ直ぐ立ったまま横棒の―がくるくる回る)の2種類があります。それ以外の回し方をしようとしても安定せず、その二つのどちらかに落ち着きます。

 画面に対して水平に回るなら、質量mの●が中心からrの距離に4つですから、慣性モーメントIはmr^2が4つ、つまり4mr^2です。設問者が意図しているのは、おそらくこちらでしょう。

 しかし、上下の●二つが動かない(自転はする)場合も考えておいてもいいかと思います。もし設問者がそう意図していないとしても、そう考えていけない理由はないからです。その場合は、2個の●が中心からrの距離で回るわけですから、2mr^2です。

P.S.

 実はまだあります。斜めで回るのでもよいのです。

● ●
 *
● ●

 これで、*の縦棒を軸として回る場合です。これも自由に回転させた場合に可能な回り方です。

 この場合、●の*の縦棒から距離となります。それぞれが90度の角度でしたから、●は回転軸から(sin45°)×rだけ離れています。sin45°=1/√2を使って、4×m{(sin45°)×r}=4mr^2/√2=2√2×mr^2となります。

 これはP.S.としてお示ししたのはわけがあります。4mr^2>2√2×mr^2>2mr^2ですね。この先習うかもしれませんが、安定して回転するためには、慣性モーメントの値が最大か、最小になる必要があります。最初の二つは慣性モーメントの値が最大、最小になるものですので、そのように回せば、多少乱されてもあまり姿勢が変わらず、安定します。

 このP.S.で扱った回り方では、慣性モーメントの値が中間です。この回り方をしていて、少しでも乱されたら(例えば、空気中だと必ず乱される)、回り方がどんどん変化してしまいます。安定させるためには使えない回り方ということで、最初の二つに対して参考までにお示ししました。

 慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り(大きさは無視できるとする)があれば、mr^2(^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える)になります。

 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろ...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング