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大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。
回転運動のエネルギーを求める公式とその証明を教えて下さい。お願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

回転運動のエネルギーの証明ということですが


回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+Δr)ωです。
それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、
それが結局回転のエネルギーということになります。
U=Σ1/2Δmv^2=Σ1/2Δm(rω)^2=1/2(ΣΔmr^2)ω^2

ここで、ΣΔmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量Δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。I=ΣΔm(r)r^2よって
U=1/2(ΣΔmr^2)ω^2=1/2Iω^2となります。
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剛体は、質点と違って広がりがありますから、重心の運動とは独立に、重心の回りの回転運動が可能です。



重心の運動は、ニュートン方程式で記述されますね。
物質の重心にFという力がかかると、aという加速度を生じるとき、その比例係数を質量mと呼びます。すなわち、
F=ma
運動エネルギーは、
E=mv^2/2
vは速度ですね。

では、回転運動はどうでしょうか? 重心の回りに物質を回転させるように力に相当するものNを加えると、回転加速度αが生じます。その比例係数をIとおくと、N=Iα。ニュートン方程式と似ているでしょう?
回転エネルギーは、U=Iω^2/2。ここでωは回転速度です。

Nをトルク、Iを慣性モーメントと呼びます。物質の質量mは同じでも、物質の形状によってIは異なります。この辺は、自分で調べてください。
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