
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
長方形の対角線の長さの2乗(^2)を考えると、それは
a^2+b^2 ですね。
ここで、a+b=1 ですから、b=1-a です。これを上の式に代入。
a^2+(1-a)^2
=a^2+1-2a+a^2
=2a^2-2a+1
=2(a-0.5)^2+0.5
ですので、a=0.5(b=0.5)の時に対角線は最も短くなり、その長さは√0.5 です。
問題は、このように対角線の長さの「最小値」を求めよ。ではありませんか?。
「最大値」は、長方形が限りなく扁平になった時に限りなく「1」に近づく、としか言いようがありません。
この回答へのお礼
お礼日時:2010/12/10 15:37
どうもありがとうございます。
最大値は確かに1ですね。
式の変形で(a-0.5)^2が思いつかないでカベに当たってました。
これは自分で考えたオリジナル問題なんで、
別にミスプリとかそういうのではないです。
No.5
- 回答日時:
ごちゃごちゃ言ってないで、解いてやったら良いんじゃないか。
その解をどう利用するか、は質問者次第。
ピタゴラスの定理から、(対角線)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab であるから、abの値の範囲が定まると良い。
ab=mとすると、aとbは t^2-t+m=0 ‥‥(1) の2つの正の解。
従って、判別式≧0、2解の和>0、2解の積>0 より 0<m≦1/4 ‥‥(2)
(対角線)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab=1-2m ‥‥(3)
(2)の条件で、(3)の値の範囲を定めると良い。
(3)は傾きが -2 のmの一次関数(=直線)だから、グラフを書くと直ぐわかるだろうが、1-2m≧1/2
つまり、対角線の最小値は 1/√2 で、最大値は定まらない。
最小値を与えるのは、m=1/4 だから、(1)よりa=b=1/2 の時。
これが解らなければ、b=1-a>0から、0<a<1.
よって、(対角線)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab=1-2a(1-a)=2a^2-2a+1=2(a-1/2)^2+1/2 であるから、0<a<1の範囲で値の範囲を求めるだけ。
最小値はあるが、最大値は定まらない事は直ぐわかるだろう。
No.4
- 回答日時:
対角線の長さを L とすると、
L^2 = a^2 + b^2
です。これに a + b = 1 を代入して b を消去すると、
L^2 = 2(a-1/2)^2 + 1/2
のように式変形できます。したがって、 a = b = 1/2 のとき L は最大値 sqrt(1/2) をとる、とわかります。
No.2
- 回答日時:
こんにちわ。
結論から言うと、「最大値はありません(存在しません)」
問題としては、次の問題と同じになります。
a> 0, b> 0, a+b= 1のとき、L=√(a^2+ b^2)の最大値はいくつになるか?
また、そのときの aと bの値は?
「長方形」が形作られるためには、0< a< 1, 0< b< 1でなければならず、
このとき最大値は存在しません。
感覚的には、対角線上で向かい合う 2つの頂点間の距離がどうなるかを考えることになります。
どちらか一方を 1に近づければ、2点間の距離も 1に近づきながら離れていきます。
が、1にすることはできません。(長方形でなくなるから)
逆に、最小値(もっとも近いとき)は、2辺が等しいときになることもイメージできるかと思います。
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