ブラックボックスのイメージについて

関数をブラックボックスで捉える事について、どうしても一つピンと来ない事があります。

関数は、ブラックボックス以外に、写像で考える方法もあります。
写像は、ある集合（定義域）の要素（x）をある集合（値域）の要素（y）へ対応させる規則fで、定義域の集合（円状）の要素から、値域の集合（円状）の要素へfと添えられた矢印が出ている図をイメージします。
このとき、定義域の集合の要素から、要素が円状の図に入ったまま、値域の要素へ矢印が達していて、このとき値域の要素も円状の集合に入ったままです。つまり、要素を一つ一つ取り出さなくていいです。

しかしブラックボックスでは疑問が生じます。
ブラックボックスは、定義域の集合からある要素（x）を選び出し、変換機能をもつ箱fに入れ、値域の集合の要素（y）となって出てくるものです。
このとき、定義域から値を一つ一つ取り出さなければいけません。
もし、集合A={1、2、3、…}を考えるとき、この要素全てをxで表す事にします。（xは一文字で集合の要素全てを表します。）
イメージとしては、円状の集合に要素がたくさん書かれていて、xが現れ、要素全てをブラックホールみたいに吸収し、その結果、xただ一つになります。
このxをブラックボックスに入れるために取り出します。そしたら、定義域は空っぽ（空集合）になります。
そして、yに変換され、値域にはyが出来ます。
もともと、値域は空っぽです。
この後、具体的値を変換させようと思っても、定義域が空集合だから出来ません。xがあれば、イメージとして、xから吸収された要素が放出され、xが消えて、要素にいっぱい数字が現れます。
しかし、あるサイトでブラックボックスの逆関数の説明があり、出てきたyを、yが出てきた入り口から戻し、xに変換するというものでした。
これを利用すると、具体的値についても考えられます。
でも、ブラックボックスは、定義域の要素が減る→値域の要素が増える…、の繰り返しで、最後には定義域は空っぽになります。
値域は満たされます。
これって何かおかしいです。
または、初めから定義域と値域には要素が満たされており、入れる定義域の要素はコピーで、取り出さず、出る値域もコピーで、箱から出てきた値とコピーが重なるのでしょうか?
それか、どちらも減っていき、最後には両方空集合になるのでしょうか?
写像と違う概念です。
ブラックボックスについて回答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ur2c 回答日時： 2010/12/22 18:59

> 初めから定義域と値域には要素が満たされており、入れる定義域の要素はコピーで、取り出さず、出る値域もコピーで、箱から出てきた値とコピーが重なるのでしょうか?

私が持ってるイメージはそうです。数学の関数は black box より写像と思った方が便利です。Black box のイメージが便利なのは automata とか数学機械を扱うときくらいでは？

数学機械と言えば計算機科学です。関数は計算機科学でもよく使います。もとは数学から流用した概念ですけど、実装を伴うので、だいぶ趣が違います。関数を使うことを計算機科学では「関数を呼ぶ」とか function call とか言います。

Function call のやりかたに２通り、call by reference 「参照わたし」というのと call by value 「値わたし」というのがあります。前者が要素を１つずつ取り出して行くイメージに近く、後者がコピーを使うイメージに近いです。前者の方が計算にかかる資源（処理とか記憶とか）は少なくすみます。けど、いろいろ不都合もあるので、後者の方が普通です。

計算機科学でも数学と同様、関数を圏論の枠組みでとらえるのが一般的になって来ています。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A9%95%E4%BE%A1% …

この回答への補足

なるほど。

逆関数の考え方を利用する捉え方はどうでしょうか?

まあ捉え方はいろいろあると思いますが。
やはりブラックボックスは関数を分かりやすく捉えられるようにしてるだけで、写像が数学の本質を貫いているのですね。

補足日時：2010/12/22 20:25

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分かりやすいので、コピーだと捉える事にします。

お礼日時：2011/01/05 16:54

No.3 回答者： ur2c 回答日時： 2010/12/22 23:04

> 逆関数の考え方を利用する捉え方はどうでしょうか?

逆関数って何かが問題です。文脈からは、あなたの言う逆関数は集合値をとり、普通の関数ではなさそうです。だからその逆関数を利用して関数というもののイメージを関数を知らない人に伝えようと言うのは、話が混乱して無理でしょう。不必要に難しいです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/01/05 16:55

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/22 18:24

「しかしブラックボックスでは疑問が生じます」以降は何をどう考えているのかよくわからん.

ひょっとして「定義域から値を一つ一つ取り出」すときに, 取り出された値は定義域から消えてなくなると思ってる?

そのあとの「この要素全てをxで表す事にします」とか「イメージとしては、円状の集合に要素がたくさん書かれていて、xが現れ、要素全てをブラックホールみたいに吸収し、その結果、xただ一つになります。」とかの文を見ると, そもそも集合に対しておかしなイメージを持っているように思える....

この回答への補足

はい、定義域の要素が減っていく、と捉えています…。

しかしやはり減っていくってのは数学としておかしいと思いました。
まあブラックボックスは万人に分かりやすいようにしただけで、数学の本質を貫いているのは写像の捉え方ですよね。

あと、ブラックホールみたいに云々、というのは、単なるイメージです。
例えば、集合A={1、2、3、…}の要素を（円状の集合の図に要素が書き込まれているとして）、x一文字で表すとき、円に書かれた要素がx一文字に変わるのを分かりやすいイメージとして自分で決めました。

補足日時：2010/12/22 20:41

この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり何か分かりにくかったですかね…。

お礼日時：2010/12/22 20:26