球の体積について

Question

球の体積ついて

中一男子です。
数学で球の体積の求めかたをやりました。
今から、書きます。

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球が丁度入る円柱の容器と、その球を半分にした半球の容器があります。
円柱の容器には半球の何倍分の水が入るでしょうか？

上のことを調べてみると、円柱の容器の水の量は半球の容器の３倍分であることが分かる。
すなわち、半球の体積は円柱の「三分の一」である。

このことから、球の体積について、次のことが分かる。
球の体積は、その球が丁度はいる円柱の体積の「三分の二」である。

半径「rcm」の球が丁度入る円柱は、底辺の半径が「rcm」で高さが「２rcm」であるから、
その体積は「πr（2条）×２rcm」となる。
πr（2条）×２r＝π×r×r×２×r＝「２πr（3条）」
と、計算できるから、半径「rcm」の球の体積「V立方cm」は、次のように表される。
Ｖ＝「２πr（3条）」×「三分の二」＝「三分の四πr（3条）」

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はい、終わりました。

そして、授業で先生がこのことを説明したあと、こんなことを言いました。
「最初の、
（球が丁度入る円柱の容器と、その球を半分にした半球の容器があります。
円柱の容器には半球の何倍分の水が入るでしょうか？）
の部分は、実験じゃないですか。でも、この説明は計算でもできるんですよ。
まあ、難しいので説明しないけど。皆さん、もう少し、勉強してから調べてみてください」

と、なんとなく期待しているような気がしました。

そこで、僕は知りたいです。計算だけの方法を。
中一の脳なので、理解できないところもあるかもしれません。
しかし、それも頑張って理解したいです。

どれだけ難しくてもいいです。複雑でもいいです。

文が下手なので、質問があるかたは書いてください。

御回答お願いします。

kopanda116 · Accepted Answer

正直、難しいですね。

これは、カヴァリエリの定理というムズっかしい定理を使うと簡単に求めることができるんです。
この定理について、”若干”簡単に説明すると、
ある２つの立体において、
ある平面に平行な平面による切り口の面積が、
それぞれ２つの立体において等しいならば、
それぞれ２つの立体の体積は等しい
という定理です。

この定理を使って・・・

半径r、高さrの円柱を、
１．半径rの半球でくりぬいた場合と、
２．半径r、高さrの円錐でくりぬいた場合とで比較します。

１．
円柱の底面に平行な平面で、くりぬいた部分を考えましょう。
くりぬかれた部分は円状ですよね？
その半径は、√(r^2 - x^2) と表すことができます。
[この理由は・・・高校で三角関数なるものを勉強すると理解できます。]
　　√　が分からないかと思いますが、例えば、√(2) ×　√(2) = 2 となる数のことです。
　　また、ここでxは、円柱の面からの距離です。
　　くりぬいた形状はすり鉢上になっているので、x=0のときは取り除かれた面の位置のことです。

ですから、切り口の面積は、π(r^2 - x^2) となります。

これが、まず1つ目。

２．
同じように、円錐でくりぬいた場合を考えますが、
これは簡単。
πr^2 - πx^2　＝　π(r^2 - x^2)

あら不思議！
同じになりましたね！
オトナはズルイ生き物なんです。

ですから、
円柱から球を取り除いた体積と、
円柱から円錐を取り除いた体積は
全く同じなのです！

したがって、
２．のように円柱から円錐を取り除いた体積を考えると・・・

πr^3 - 1/3 πr^3 = 2/3 πr^3

半球の体積の2倍が、円柱からくりぬいたすり鉢状の立体の体積となります。

最後に・・・
カヴァリエルの定理は、例え大学卒の人間でも証明を理解するのは難しいでしょう。。。
私も、証明は全く理解できませんでした。
そういうものなのです。

htms42 · Answer

こんなの見つけました。

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

htms42 · Answer

＃４
＞円柱から球を取り除いた体積と、
＞円柱から円錐を取り除いた体積は
＞全く同じなのです！

ではなくて
＞円柱から半球を取り除いた体積と、
＞円錐の体積は
＞全く同じなのです！
または
＞半球の体積と、
＞円柱から円錐を取り除いた体積は
＞全く同じなのです！
です。

その場合、
頂上が上にあるように半球を置いてあるとすれば円錐は頂上を下にした状態で考えています。
そうでなければ同じxを使うことはできません。中学生だと混乱するでしょう。

面積の場合に置きなおして考えるとこの定理のイメージが取れます。
たくさんの鉛筆を並べて作った長方形を考えます。鉛筆を少しずつ横にずらせば平行四辺形になります。面積は変わりません。
細かい部分に分けて考えているということでは積分ですが、
積分を意識させずに積分の考え方を使っているという事になります。
まあいいのではないですか。

タイルを使って色んな図形を作ったとします。
タイルの数が変わらなければ図形の面積は同じというのは小学校でも使うことです。
立体の場合は積み木で考えることになります。
これは積分だとうるさく言わなくてもいいだろうと思います。

alice_44 · Answer

カヴァリエリの原理は、積分を使えば、高校生でも簡単に証明できます。
積分を使わず、幾何学で証明することは、難しいのではなく、不可能です。
初等幾何学には、そもそも、任意の立体の体積という概念がないからです。
嘘だと思ったら、原論を読み返してごらんなさい。
ユークリッド幾何に、カヴァリエリの原理を公理として付け加えると、
かなり広範囲の立体の体積を、幾何学の中で計算することができるようになり、
算数で扱う図形は全てカバーできます。

kopanda116 · Answer

＃４です。

スミマセン・・・

最後の最後で間違えました。

最後の

2/3 πr^3

は半球の体積ですね。
間違えました。

ですから、球の体積は、それの2倍で、

4/3 πr^3

となります。

補足失礼しましたー。

gohtraw · Answer

高校生になると、積分という事を習います。どういうことかというと、球の体積を求めたい場合だと、その球を輪切りにしてペラペラの薄い（紙みたいな）ものをたくさん作ります。たくさんできたペラペラの薄い部分の体積をそれぞれ求めて、その合計を求めるというのが積分という方法です。
　この方法は、１７世紀から１８世紀にかけて活躍した、有名な科学者であるニュートンやライプニッツが発見（発案）し、以後いろいろな人の手を経て発展してきたものです。２１世紀である今日でも十分に価値のある手法が数百年前に見出されていたと思うと、改めてニュートンやライプニッツの偉大さを痛感します。
　まだ中一だということで、よく判らない部分はあるかも知れませんが、いつか理解し、より高いところに到達しようという気概をもって頑張って下さい。

Kirby64 · Answer

円柱の容器は円の面積×高さ（円の直径）ですから、
半径をrとすると、
πｒ^2×2r=2πr^3（２π×半径の３乗）

半球の容積は球の半分だから、
1/2×3/4πr^3=3/8πr^3（８分の３×π×半径の３乗）

二つの式を見比べると、πr^3が一緒だから、
(2πr^3)÷(3/8πr^3)=2*8/3=16/3倍←これが答えニャ。

noname#137826 · Answer

難しく(正確に)すると積分が必要になるので中学生では難しすぎるかもしれません。しかし、積分による求積とほぼ同じ考え方で中学生にも理解できるものはあります。

基本的には、薄くスライスした円盤の体積を足し合わせるという方法になります。「球の体積 求め方」などで検索するといくつも出てくるようです。例えば、こんなのはどうでしょうか？
http://www.apec.aichi-c.ed.jp/shoko/kyouka/math/onepoint/ex38/kaisetu.htm
http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/2351680.html
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu.htm

球の体積について

正直、難しいですね。

こんなの見つけました。

＃４

カヴァリエリの原理は、積分を使えば、高校生でも簡単に証明できます。

＃４です。

高校生になると、積分という事を習います。

円柱の容器は円の面積×高さ（円の直径）ですから、

難しく(正確に)すると積分が必要になるので中学生では難しすぎるかもしれません。

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　高校生になると、積分という事を習います。