x=cot(1-t/3)

なんですけど、(cotx)'=-cosec^2 x
というモノを使うのですか?

使っても上手く導き出せないのですが?
よろしくお願いしますd(^-^)ネ!

A 回答 (2件)

やりたいことは、「x=cot(1-t/3)をtで微分する」ということですか?



もしそうならば、
x'=-(1/3)*{-cosec^2 (1-t/3)}
=(1/3)cosec^2 (1-t/3)
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既にspringsideさんが答えられていますが、少し説明的に追記しておきますと、これは合成関数の微分公式を使うのですね。


φ=1-t/3とおくとx=cotφ。
これをtで微分すると
dx/dt=(dx/dφ)・(dφ/dt)
となります。あと右辺の各項は簡単に計算できますね。
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Qベッセル関数の微分公式について。

ベッセル関数の微分を行いたいのですが、どの式を使って良いかわかりません。

微分する場合は真ん中の漸化式を使うべきなのでしょうか?

それとも、一番下の式(単純に一番上の式から導いた関係)でしょうか?

一番下で計算するとどうも上手くいきません。

さらに、真ん中の式を使うこともできればしたくありません。


ν=0の場合は非常に簡単な公式があるのですが、それ以外の場合の公式がんくて困っています。



それとも、そもそも微分は一番上の積分公式みたいな簡単に公式化できないでしょうか?

どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

よく見ると(2)が微分を含まない式なので、補足します。
ベッセル関数の微分はzを変数として

Zν'(z) = d/dz [Zν(z)]
= (ν/z) Zν(z) - Zν+1(z)
= Zν-1(z) - (ν/z)Zν(z) (*)
= [ Zν-1(z) - Zν+1(z) ]/2

が成り立ちます。

ANo1の式はr^νが共通しているので消去すると

r Zν(ar) = [(ν+1)/a ]Zν+1(ar) + r Zν+1'(ar)

変形して

Zν+1'(ar) = Zν(ar) - [(ν+1)/ar ]Zν+1(ar)

これは上の(*)の式です(ν→ν+1におきかえ)。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

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Q微分の重解条件は公式として使える?

微分の重解条件は公式として使える?

数学の微分の重解条件について質問です。
タイトル通りなのですが、
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公式として問題を解く際に用いてもいいのですか?
どなたかご回答ください。

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まず、内容の確認ですが、以下のとおりでいいですか?

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「微分の重解条件」という公式はありません。造語になってしまいます。
そのときは、内容をほかの人にわかるようにきっちり書かないと、伝わるものも伝わりません。

「f(α)= 0 かつ f '(α)= 0」ということは、グラフ:y= f(x)と x軸が x=αで「接している」ということと同じです。
「接している」=「重解をもつ」ということからも、重解をもつということが帰結されます。


公式としてよいかということですが、「しない方がよい」と思います。
上のように説明を書いて示すのがベストです。
逆に、2次試験のような記述式では、このような説明を書いておくことで部分点をもらえる可能性も高くなります。

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q合成関数のn回微分の公式?

実関数の微分に対して、ライプニッツの公式は、

(fg)^(n)=Σ[k=0,n]C(n,k)f^(k)*g^(n-k)

です。
ところで、合成関数のn回微分の公式って考えれないのでしょうか?

一般化は難しそうなのでたとえば、
y=f(x)^a
のn回微分を書き表す方法はあるのでしょうか?
ライプニッツの公式は、係数に二項係数が使われましたが、合成関数のn回微分には、なんらかの数列が関係していたりするのでしょうか?

Aベストアンサー

確かに、ライプニッツの公式にはn階導関数について二項係数が使われていました。

しかし、合成関数といっても様々です。書き表せない関数を探す方が早いと思います。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/HigherOrderDerivatives.htm#ThrmNthDerivedFnctnOfComposition

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Qx^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、 
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 ...続きを読む

Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
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f とか、zu とか、zv とか、何じゃい?

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= (7x-3y) e^(xy)

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Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
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Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。


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