微分について

Question

熱力学の第一法則について
式１　Ｑ＝ΔＵ＋Ｗ
式１を微分形で書くとｄＱ＝ｄＵ＋ｄＷとなる

私の疑問
１　Δはどのような理由により消えたのか？
２　ｄはどのような意味があるのか？
３　式の解法がわからない。微分公式にあてはめているのか？


高校時代は数学に全く触れていなかったので中学レベルで私の疑問に回答して頂ければ幸いです

また、微分積分を知識のない人が勉強出来るWebサイトや、参考書があれば教えて頂きたいです

ヨロシクお願いします

naniwacchi · Accepted Answer

こんにちわ。

＞１　Δはどのような理由により消えたのか？
Δが消えたというよりも「ΔU」で一つの物理量をみるべきだと思います。
ΔUは内部エネルギーの変化量ですね。

＞２　ｄはどのような意味があるのか？
「微小な変化量」を表すときにつけます。
中学校の時に出てきた「平均の変化量」の区間を非常に小さくしたときの量です。

＞３　式の解法がわからない。微分公式にあてはめているのか？
単に Q＝ ΔU＋Wという関係があるので、
微小な変化量についても同様の関係式が成り立つということを表しています。
（厳密には物理量の定義から考えないといけないところがありますが）

なので、「dQ＝ dU＋dW」を熱力学第1法則の式としている本もあったりします。

この式自体は
「熱（Q）を与えたら、中の気体が温まって（ΔU）、膨張する（W＝外に仕事をする）」
という物理現象を表しています。
空気を入れた風船を温めたら・・・と想像してみてください。

＞微分積分を知識のない人が勉強出来るWebサイトや、参考書があれば教えて頂きたいです
一度、大きめの本屋さんで「物理学」のコーナーをのぞいてみてください。
高校物理と微分積分をわかりやすく解説してくれている本が結構出ています。
自分に合いそうなものを探してみてはどうでしょうか？
あと、となりの「数学」コーナーもお忘れなく。

alice_44 · Answer

dQ = dU + dW を積分するときに、
Q と W は、どこが 0 か基準点が決まっているから、積分定数は必要ないが、
U は、個々の例で基準点が違うから、積分定数を明示的に書かねばならない。
積分定数 -U0 を、∫dU = U - U0 のように置いたとして、
U と U0 の差という意味で ΔU と書いたりする。
積分定数にマイナスが付けてあるのは、定積分の端点を意識してのこと。

noname#171582 · Answer

物理の教科書には
式１　Ｑ＝ΔＵ＋Ｗも、ΔQ=ΔU＋ΔWもありませんでした。

あるのは
ｄＱ＝ｄＵ＋ｄＷこの式です。

この式は熱力学第一法則です。
ピストンを連想してください。それで
それをｄQカロリーの熱量で暖めます。

そうすると、ピストンの内部の温度はｄUあがり、
膨張してｄWの仕事をします。つまりピストンは押し返します。
自動車のエンジンを連想してください。
クランクが一回転し、車輪が一回転し、自動車が動きます。
そのエネルギーがｄWです。

熱力学第一法則はどんなに姿かたちを変えても
エネルギーは与えられた物であって、
無から生じない。と言いたいようです。

ちなみに私はこの「熱力学第一法則」が好きです。

noname#171582 · Answer

式１　Ｑ＝ΔＵ＋Ｗとのことですが

ΔQ＝ΔU＋ΔWとならないのでしょうか？

puusannya · Answer

微分の逆の積分のときを例に挙げます。たとえば円の面積を考えるとき、その円をたとえば縦に切って、細い細い長方形に切り分けて、１つ１つの長方形の面積を計算して合計すると、ほぼ円の面積に近くなります。この長方形をどんどん細くしていけば、どんどん円の面積に近い値になって行きます。そして最終的に（ここがちょっと説明もしにくいところなのですが）無限に細くすれば円の面積と等しくなるといわれるのです。はじめのうちごく細い切り幅といっているときには、その切り幅は△（デルタ）を使って　表され、極限までいったときの切り幅を、dを使って表すと考えるのです。極端に言うと、何ｃｍとか何ｍｍとかがはっきり決まっている、図れるときは△を使い、無限に小さい、無限に細いなどのときはｄを使うのです。長方形の面積は縦×横ですから△で表せ、円の面積公式を作るときは積分が必要ですから、そのときの長方形の横はｄｘやｄｙなどと書きます。だから２つの式は同じもので、式１は熱を温度計で測っているような感じの表現で、微分形にするのは、熱量の変化が連続的で、合計量を積分で計算する必要があるときに使うと考えるといかがでしょうか。

微分について

こんにちわ。

dQ = dU + dW を積分するときに、

物理の教科書には

式１ Ｑ＝ΔＵ＋Ｗとのことですが

微分の逆の積分のときを例に挙げます。

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