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ある集団があり、例えばその平均が30、標準偏差が12であったとしたら、18から42に間にあるサンプルがある確率は何パーセントなのでしょうか?また、例えば95パーセントの確率で起こりうる範囲をこの条件から求めるにはどのような計算を行ったらいいのでしょうか?

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A 回答 (3件)

一般に正規分布する事象は標準正規分布(平均が0、標準偏差が1)に変えることができます。


ご質問の例で言うと、「18から42」の42は、標準正規分布では、
(42-30)/12=1 になります。
この標準正規分布で、xが何か以下になる確率とか、いくら以上になる確率などが、
教科書などの裏にある、「正規分布表」に載せられています。
ですから表で、左端のxの欄を下にたどって1.0のところを右に行って1つ目の
0.3413を読み取ります。すなわち0~1になる確率、元のデータで言うと、
30から42になる確率が0.3413ということです。
(表によっては、「上側確率」の表もあり、この場合は1の時には
0.1587と読み取れます。1以上になる確率が現されているのです。
合計すると0.5になる数になっていますから、0.5-0.1587=0.3413と求めます。)
一方18の方は、正規分布のグラフは、平均値の値で左右対称ですから、
計算しなくても、12から30になる確率は0.3413です。
ですから、18から32になる確率は、0.3413×2×100=68.26=68.3(%)

つぎに95%になる確率は、上の計算の逆をたどります。
0.95÷2=0.475 表の中から0.475を探すと
1.9の右、6の下の交点のところにあります。すなわち1.96のときだと分かりました。
標準化して1.96ですから元は1.96×12+30=53.52=54
四捨五入して54だと考えると30より下のほうは、54-30=24、30-24=6
ですから、95%で起こる範囲は、6点以上54点以下です。
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こんにちは。



正規分布のことですよね。
この表を参照。(高校2年か3年ぐらいの数学の教科書の巻末にもあると思います。)
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/ …
標準偏差=1 です。

表で 1.0+0.00 のところを見ると 0.8413 と書いています。
ですから、平均+標準偏差×1.00 より上には、全体の 0.1587 があります。
同様に、平均-標準偏差×1.00 より下にも、、全体の 0.1587 があります。

>>>例えばその平均が30、標準偏差が12であったとしたら、18から42に間にあるサンプルがある確率は何パーセントなのでしょうか?

1 - 0.1587×2 = 0.6826
68.26% です。

>>>例えば95パーセントの確率で起こりうる範囲をこの条件から求めるにはどのような計算を行ったらいいのでしょうか?

コンピュータで近似値を計算することになりますが、その代わり、上記の表を使います。
「95パーセントの確率で起こりうる範囲」という表現は、ちょっとまずいですね。
平均値の左右に対称という限定を付けないと、無限通りの答えができてしまいます。
平均値の左右に対称ということであれば、片側は 2.5% でよいですね。
1 - 0.025 = 0.975
というわけで、表の中から、0.975 にもっとも近い数値を探します。
それは、どこにあるかというと、1.9+0.06 のところにありました。

つまり、平均値 ± 標準偏差×1.96 の範囲に全体の95%が入ります。
30 ± 12×1.96
30 ± 23.52
6.48~53.52
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平均と標準偏差のみでは分布は決まりません. 従って, どちらも求めることは不可能です.

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