標準偏差の意味について

ある集団があり、例えばその平均が30、標準偏差が12であったとしたら、18から42に間にあるサンプルがある確率は何パーセントなのでしょうか？また、例えば95パーセントの確率で起こりうる範囲をこの条件から求めるにはどのような計算を行ったらいいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： puusannya 回答日時： 2011/03/11 10:08

一般に正規分布する事象は標準正規分布(平均が０、標準偏差が１）に変えることができます。

ご質問の例で言うと、「１８から４２」の４２は、標準正規分布では、
(４２－３０)/１２＝１ になります。
この標準正規分布で、ｘが何か以下になる確率とか、いくら以上になる確率などが、
教科書などの裏にある、「正規分布表」に載せられています。
ですから表で、左端のｘの欄を下にたどって１．０のところを右に行って１つ目の
０．３４１３を読み取ります。すなわち０～１になる確率、元のデータで言うと、
３０から４２になる確率が０．３４１３ということです。
（表によっては、「上側確率」の表もあり、この場合は１の時には
０．１５８７と読み取れます。１以上になる確率が現されているのです。
合計すると０．５になる数になっていますから、０．５－０．１５８７＝０．３４１３と求めます。）
一方１８の方は、正規分布のグラフは、平均値の値で左右対称ですから、
計算しなくても、１２から３０になる確率は０．３４１３です。
ですから、１８から３２になる確率は、０．３４１３×２×１００＝６８．２６＝６８．３(％)

つぎに９５％になる確率は、上の計算の逆をたどります。
０．９５÷２＝０．４７５　表の中から０．４７５を探すと
１．９の右、６の下の交点のところにあります。すなわち１．９６のときだと分かりました。
標準化して１．９６ですから元は１．９６×１２＋３０＝５３．５２＝５４
四捨五入して５４だと考えると３０より下のほうは、５４－３０＝２４、３０－２４＝６
ですから、９５％で起こる範囲は、６点以上５４点以下です。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2011/03/11 01:53

こんにちは。

正規分布のことですよね。
この表を参照。（高校２年か３年ぐらいの数学の教科書の巻末にもあると思います。）
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/ …
標準偏差＝１　です。

表で　１．０＋０．００　のところを見ると　0.8413　と書いています。
ですから、平均＋標準偏差×１．００　より上には、全体の 0.1587 があります。
同様に、平均－標準偏差×１．００　より下にも、、全体の 0.1587 があります。

＞＞＞例えばその平均が30、標準偏差が12であったとしたら、18から42に間にあるサンプルがある確率は何パーセントなのでしょうか？

１　－　０．１５８７×２　＝　０．６８２６
６８．２６％　です。

＞＞＞例えば95パーセントの確率で起こりうる範囲をこの条件から求めるにはどのような計算を行ったらいいのでしょうか？

コンピュータで近似値を計算することになりますが、その代わり、上記の表を使います。
「95パーセントの確率で起こりうる範囲」という表現は、ちょっとまずいですね。
平均値の左右に対称という限定を付けないと、無限通りの答えができてしまいます。
平均値の左右に対称ということであれば、片側は　２．５％　でよいですね。
１　－　０．０２５　＝　０．９７５
というわけで、表の中から、０．９７５　にもっとも近い数値を探します。
それは、どこにあるかというと、１．９＋０．０６　のところにありました。

つまり、平均値　±　標準偏差×１．９６　の範囲に全体の９５％が入ります。
３０　±　１２×１．９６
３０　±　２３．５２
６．４８～５３．５２

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/03/11 00:55

平均と標準偏差のみでは分布は決まりません. 従って, どちらも求めることは不可能です.