対称群(置換群)の転倒数の母関数、期待値、分散

n個の整数{1,2,…,n}からなる順列 があるとき、その順列の総数はnの階乗 n!個存在する。
そのひとつを(a_1,a_2,…,a_n)で表す。
この順列において i < j かつa_i > a_j の関係にあるとき a_iとa_jとの間に転倒があるという。
この転倒の総数を転倒数という。

n!個の順列のうち転倒数がkの順列の場合の数は、
1(1+q)(1+q+q^2)…(1+q+q^2+…+q^(n-1))　を展開したときのq^kの係数に等しい。

これがどうしてなのか教えていただけないでしょうか?
また、転倒数の期待値、分散もご存知であればどうか教えてください。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/04/05 21:20

どうしてなのかと言われてもそうなっているのだからしょうがない。

証明したいのなら、帰納法を使えば可能でしょう。

n個の整数{1,2,…,n}からなる、ある順列の転倒数がkのとき、整数(n+1)を追加する箇所によって転倒数がk,k+1,k+2,・・・,k+nとなる(n+1)種類の順列ができます。

これを利用すれば帰納法で証明できるでしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/05 18:21

それぞれの因子が何を表しているのかを考えてください.

そして母関数がわかれば期待値や分散は計算できますよね.