等温変化のときdU=0
dQ=dW=PdV―(1)
PV=nRTからP=(nRT)/V―(2)

(1)式と(2)式から
dQ=dW=nRT・dV/V=nRT・ln(V2-V1)―(3)
であることは分かります。

何故(1)式から(2)式を使わずに
dQ=dW=PdV=P(V2-V1)―(4)
としてはいけないのでしょうか?

(3)式と(4)式の違いが分かりません。
分かる方がいらっしゃるのであれば教えてください。

A 回答 (2件)

圧力が定数ではなく体積の関数だからです。



それと、おそらく(3)式の左辺は微少量をあらわすdQ, dWではなく、総量であるQ、Wのはずです。積分も忘れずに。ちゃんと書くと

>(1)式と(2)式から
>dQ=dW=nRT・dV/V

となりこれを積分して、

Q = W = nRT∫dV/V = nRT・ln(V2-V1)―(3')
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この回答へのお礼

> 圧力が定数ではなく体積の関数だからです。
この一言で理解しました。ありがとうございます。

あともう一方が注意してくれましたが、
ln(V2-V1)でなくてln(V2/V1)の間違いでした。

お礼日時:2011/04/11 16:05

なぜ、式(2)を持ってきたのか です。


温度一定で体積を変えれば圧力も変わってしまう、
それが分かっていてこの式を考えたのではないですか。
そういうことが分からずにただ本に書いてあるからというだけですか。
この式は「ボイルの法則(1662年)」です。
江戸時代の初めごろに見つけられた法則の意味がいまだに理解できてないということはないでしょう。

積分操作を加える前の表現と後の表現の区別ができていないというのも悲しいですね。
おまけに積分も間違っています。
dQ=dW=nRT・dV/V
Q=nRT∫dV/V=nRTln(V2/V1)

ln(V2-V1)ではありません。
lnV2-lnV1=ln(V2/V1) という変形をしています。
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この回答へのお礼

今更ですが、お礼をつけていないことに気づきました。ありがとうございます。
(3)式と(4)式の違いが分かりません。
と聞いているので"この答え"が知りたかったのですが、余計な回答は要りません。
答えて貰っていながらこんなことを言うのもなんですが、質問に答えるという常識を知って頂きたいです。
邪魔な回答は正確な回答をして下さる人に対して本当の意味で邪魔にしかなり得ません。

お礼日時:2012/08/27 09:35

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Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Q等温変化と断熱変化の違い

よろしくお願いします。物理の熱のところについて質問させてください。

ピストンを動かすときに等温変化や断熱変化、定積変化、定圧変化などがありますが、定積変化や低圧変化はわかるのですが、等温変化と断熱変化の違いがわかりません。
どちらも温度、つまり熱の移動がない変化ということではないかと思うのですが、テキストでは、条件が違います。
等温変化のときは、ΔU=0で
断熱変化のときは、Q=0となっていました。
自分は同じ熱の移動がないという変化なのに、どうして条件が違うのか疑問です。
Uは内部エネルギーで、Qは熱量です。
等温変化のときは、ΔU=0のみが条件だとすると、
式ΔU=W+Qより、
Q=0でなくてもいいということですか?つまり、W=-Qであれば、Qは0でなくてもいいということでしょうか?
温度イコール熱ではないのでしょうか?
いまいち断熱変化と等温変化の違いがよくわかりません。

教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ピストンを押して気体を圧縮したとします。
この時の変化は等温、断熱のどちらでしょうか。

多分この辺がわかりにくいのだと思います。
この操作自体はボイルの法則のところで当たり前に様にして出てきます。でも操作だけなんです。
「温度一定の条件で」とか「温度が変わらないようにして」という注が付いています。「温度が変わらないようにしようと思えばどうすればいいか」には触れられていません。

実際にやると等温、断熱の間の変化が起こります。
圧縮すると体積が減ります。いくらか温度も高くなります。自転車の空気入れ(金属製のもの)のようなものだと手で触って感じることが出来るほどです。しばらく待つとわからなくなります。
温度が上がったということは内部で熱が生じ、外に出てきたということです。温度が上がっていますから等温ではありません。外に熱が出てきていますので断熱でもありません。熱が外に出てきていますので出てこない場合に比べると内部の温度上昇は小さくなっているはずです。
ピストンとシリンダーの構造や材質を変えることによって熱が外に出てくるのをいくらか押さえることが出来ます。でも何時も時間の尺度が問題になります。時間が経つと外部の温度と同じになります。構造や材質を変えることによって外部の温度と同じになる時間を速くする事も出来ます。
普通に起こる圧縮の場合、断熱変化と等温変化の間の変化が起こっています。「全く熱の移動が起こらない」という条件と「十分に熱の移動が起こる」という条件は2つの極限的な条件です。理想的な条件です。

等温変化の場合、熱のやりとりの出来る大きな物体と接触しているとしています。「熱浴」と言います。
空気中でやるとき、少し待てば周りの空気と同じ温度になる、それによって空気の温度は上昇しないと考えるとが出来るのであれば空気が熱浴であることになります。空気の温度がどうしても高くなるというのであれば熱浴としては不充分だということになります。水の中に浸けるという場合であれば水槽の中の水が熱浴になります。

等温変化を実現するためには十分熱容量の大きな熱浴と接触させるという但し書きがたいてい書かれています。

#1のご回答で「氷水」を考えられているのも熱浴の工夫の一つです。水だと温度が上がってしまうかもしれないですが氷水だと氷が溶けてしまうまでは温度が上がらないので等温変化が実現するという工夫です。でもこれだと温度を選べませんね。温度コントロールの出来る水槽でやると氷水よりは等温条件は悪くなるかもしれませんが温度を選ぶことは出来ます。

等温変化はまだ工夫すればいくらか実現しているというイメージが取りやすいです。断熱変化は逆の場合の極限ですから実現の程度を知るのが難しいです。接触している2つの物体の間では必ず熱の移動があるはずですから完全な断熱は不可能です。完全に断熱させているとしたときの変化の予想値と実際とを照らし合わせることによってどの程度断熱条件が実現されているかを調べるということしか手がないのだと思います。熱力学では理想的に断熱されているとして温度変化がいくらになるかを求めることが出来ます。

質問者様は温度と熱の違いも混乱があるようです。
この違いは先にハッキリさせておく方がいいと思います。

ピストンを押して気体を圧縮したとします。
この時の変化は等温、断熱のどちらでしょうか。

多分この辺がわかりにくいのだと思います。
この操作自体はボイルの法則のところで当たり前に様にして出てきます。でも操作だけなんです。
「温度一定の条件で」とか「温度が変わらないようにして」という注が付いています。「温度が変わらないようにしようと思えばどうすればいいか」には触れられていません。

実際にやると等温、断熱の間の変化が起こります。
圧縮すると体積が減ります。いくらか温度も高く...続きを読む

Q等温不可逆変化における仕事量

こんにちは。
教科書を読んでいるうちに混乱してきたのでよかったら教えてください。
等温不可逆変化、外圧が一定の条件で仕事量を求める場合、
W=-P⊿Vでよろしいのでしょうか?
それとも、モル数も考慮してW=-nP⊿Vとする必要があるのでしょうか?

等温可逆変化の場合はW=-nRTln(V2/V1)というように、nを掛ける公式が教科書に載っていたのですが、等温不可逆変化の式はW=-P⊿Vというようにnを掛けたものは載っていません。
また、練習問題も1モルのものばかりで、確かめようがなく、とても混乱しています・・・

何かアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

一番大事なことは、外から受ける仕事Wは外圧Pexと体積Vを用いて
W=-∫PexdV
となるということです。全てはこの式から導く必要があります。

外圧一定の場合上の式から、W=-∫PexdV=-Pex∫dV=-Pex⊿Vとなります。


理想気体の等温変化では
Pin*V=nRT →Pin=nRT/V
の関係が成り立ちます。
等温可逆変化の場合、Pex=Pinの条件下で変化させますから
W=-∫PexdV=-∫PindV=-∫(nRT/V)dV
これを計算するとW=-nRTln(V2/V1)
となります。

基本は
W=-∫PexdV
であり、PexがVに対してどのような関数で表されるか、という点に注意をしておけばよいでしょう。むやみに公式を覚えるよりも必要最小限の定義をしっかりと理解しそれを応用できるようになるほうが混乱せずすみます。

Q等温変化について

質量m、分子量M、モル気体定数Rの理想気体が圧力P1からP2まで等温膨張したことによりWの仕事を行った。この時次の値を求めよ。
1)膨張前の気体の体積
2)膨張前の気体の温度
3)与えられた熱量
4)エントロピーの変化量
どうしても未知数が残ってしまい解けません。よろしくお願いします

Aベストアンサー

#1での解き方。

膨張前の体積をV1、物質量をn=m/Mとする。このときの温度Tは
P1*V1=nRT → T=P1*V1/(nR)
となります。

膨張後の体積V2は
P2*V2=nRT=P1*V1 → V2=(P1/P2)V1  (最初からボイルの法則を使ったほうが早いが)

膨張中のpとVの関係は
pV=nRT=P1*V1 → p=P1*V1/V

後は
W=∫[V1,V2]pdV
を計算するとV1についての方程式が得られます。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

Q熱力学の仕事について

熱力学において仕事を求める時は
 W=p∫dv
だと思っているのですが、ランキンサイクルで仕事を出すとき参考書では、
 W=v∫dp
となっていました。これは同じことを言っているのですか?
ご存知の方教えて下さい。

Aベストアンサー

No4 ency です。

前の書き込みの内容だけだと、「工業仕事」の物理的な意味がまったくない、と思ってしまうかもしれませんので、少し補足します。

そもそも、絶対仕事とは「物体の体積が変化することによって、その物体が外に対してする仕事 (= 物体が失うエネルギー)」のことですよね。
# 当然、体積変化がなければ、絶対仕事はゼロです。

一方、工業仕事は「物体の圧力が変化することによって、蓄えられるエネルギー」ととらえることができます。
# 工業仕事の方は、圧力変化がなければゼロです。
# 体積変化がなくても、圧力変化があれば
# 工業仕事はゼロになりません。

ま、名前の由来はよく知りませんが、定義式の形が (絶対) 仕事に似ていたために、「工業仕事」という名前にしたのかもしれません。

とりあえず「閉じた系の仕事」=「絶対仕事」、「開いた系の仕事」=「工業仕事」という覚え方で良いと思います。
# 工業仕事のことを単に「仕事」と呼ぶのが
# 一般的なのか、よく知りません。
# 熱機関屋さんがどのように呼んでいるのか、
# 知りたいところですね。

No4 ency です。

前の書き込みの内容だけだと、「工業仕事」の物理的な意味がまったくない、と思ってしまうかもしれませんので、少し補足します。

そもそも、絶対仕事とは「物体の体積が変化することによって、その物体が外に対してする仕事 (= 物体が失うエネルギー)」のことですよね。
# 当然、体積変化がなければ、絶対仕事はゼロです。

一方、工業仕事は「物体の圧力が変化することによって、蓄えられるエネルギー」ととらえることができます。
# 工業仕事の方は、圧力変化がなければゼロです。
#...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Q水素結合とはどういうものですか?

現在、化学を勉強している者です。水素結合についての説明が理解できません。わかりやすく教えていただけないでしょうか?また、水素結合に特徴があったらそれもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻が存在しますので、原子格がむき出しになることはありません。
ご存じと思いますが、原子核というのは原子のサイズに比べてはるかに小さいために、H+というのは他のイオンとは比べ物にならないほど小さいといえます。もちろん、正電荷を持つ水素というのは水素イオンとは異なりますので、原子殻がむき出しになっているわけではありませんが、電子が電気陰性度の大きい原子に引き寄せられているために、むき出しに近い状態になり、非常に小さい空間に正電荷が密集することになります。
そこに、他の電気陰性度の大きい原子のδーが接近すれば、静電的な引力が生じるということです。
そのときの、水素は通常の水素原子に比べても小さいために、水素結合の結合角は180度に近くなります。つまり、2個の球(電気陰性度の大きい原子)が非常に小さな球(水素原子)を介してつながれば、直線状にならざるを得ないということです。

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻...続きを読む


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