現在大学生です。
統計学に関しての質問です。

互いに独立な2つ正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布になりますが、
完全に従属な2つの正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布になるのでしょうか。
例えば、ある正規分布に従う1つの確率変数の定数倍の分布は正規分布になるのでしょうか。

単純そうなのですが、考えれば考えるほど分からなくなるので、納得ができる説明をしていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

正規分布になりますよ。



X~N( μ, σ^2 )

という確率変数を考えた時、aを実数とすると

aX~N( aμ, (aσ)^2 )

が成立します。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
やはりちゃんと正規分布になるんですね。
それでは、2つの正規分布に従う確率変数が(例え相関係数=0.99...であっても)互いに完全に独立ではないときは、その和の分布は厳密には正規分布にはならず、それが完全に従属(相関係数=1.0)になると、その和の分布は厳密に正規分布になるという理解でいいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/04/11 19:54

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Q二項分布と正規分布の違い?

を、教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どぞ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

正規分布は二項分布の良好な近似値ではありますが、両者は
「二項分布はABどちらかの値を取る全てのデータの分布」であり
「正規分布は多数のデータのうちから任意の数だけ取り出した時
に発生する分布」ですから、データのサンプル方法が違うんです。

逆に言えば、双方のサンプル数が相当に多く、かつ、サンプルの
取りえる値が適切ならば、双方は同じ形状のグラフになります。

数学的に言えば、二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく
ことは、中心極限定理の特別な場合に相当する・・・ってことに
なるんですが。

Q統計学 正規分布と対数正規分布の比較方法

統計学についての質問です。

比較使用としている群で、ひとつの群は正規分布( Shapiro-WilkのW検定、p<0.05)で、もう一つの群が対数正規分布(KolmogorovのD検定)となりました。この二群間にて数値の有意差を検定するときの検定方法は正規分布の二群間と同じようにt検定等といったパラメトリックな検定を用いて問題ないのでしょうか?
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対数正規分布は標本数8検体で、正規分布のものは3検体~12検体となっています。

Aベストアンサー

そもそも論で申し訳ないのですが、それは検定をする必要があるのですか?
対数正規分布は右のが広いので、対数正規分布の平均の方が正規分布の平均より大きいからといって、対数正規分布の方が大きい値が出やすいとは言えないですよね。
検定をしてもどれだけの意味があるのかと疑問に思います。

どうしてもする必要があるというのであれば、Welchの方法をお勧めします。
なぜこの検定方法を勧めるかは、参考URLの青木先生のサイトの「二群の平均値(代表値)の差を検定するとき」をご覧ください。

参考URL:http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/BF/index.html

Q二項分布、ポアソン分布、正規分布の問題

明日は確率のテストです。普段授業を聞いてないので勉強していて簡単な問題で躓いてしまいました。簡単だとは思いますが教えてください。

(1)不良品10%の製品の山から製品4個をでたらめにとる時この中に含まれる不良品の個数を確率変数Xにとる
(a)P(X=2)を求めよ
(b)P(X>=2)を求めよ

(2)ある製品では1%が不良品である。不良品を少なくとも1つ含む確率が95%を越すためには、少なくとも何個の製品を無作為抽出しなければならないか?

(3)確率変数Xが2項分布B(1000,1/2)に従う時、確率P(X>=400)の近似値を求めよ。

できればどういう公式を使って解いているのかも教えてくれたら幸いです。ずうずうしいとは思いますがヨロシクお願いします。

Aベストアンサー

お~おめでとうございます!!
全部できましたか?
もう今日ですが,テスト頑張って下さい!!

QX,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、

X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
  頭悪いです、すみません~

Aベストアンサー

正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。
コーシー分布の密度関数の導出も確認してください。
密度変換の公式などは,大丈夫ですね。

Q二項分布について

今、授業で二項分布などをやってるのですがいまいちわかりません。
そこで2項分布と正規分布についてそれぞれの特徴を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

二項分布と正規分布の重要な違いは、一方が離散型確率変数の分布であり、もう一方は連続型である。
また、試行回数を増やすと二項分布はある適当な正規分布に近いので、二項分布をその正規分布で近似できるという関係がある。

Q統計入門書によると、中心極限定理に関して「もし、母集団が正規分布に従っ

統計入門書によると、中心極限定理に関して「もし、母集団が正規分布に従っているならば、標本の大きさnの大小に関わらず、その平均の分布は正規分布」という記述があります。であるならば、母平均を区間推定する場合、zの値を用いて推定してもいいのかなと思いますが、ほとんどの書籍では、標本の大きさが小さい場合、tの値を用いて推定しています。なぜでしょうか?たぶん、自分がどこかで誤解をしているのだと思いますが、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

中心極限定理は,「母集団が正規分布でなくても,nを大きくすれば,その平均の分布は正規分布に近づく」というものです。
したがって,
「もし、母集団が正規分布に従っているならば,標本の大きさnの大小に関わらず、その平均の分布は正規分布」になります。
だから,
「母平均を区間推定する場合、zの値を用いて推定してもいい」のですが,区間推定する場合,もう1つ必要なものがあります。母集団の分散σ^2です。これがわかっていれば,
√(n)(X'\-μ)/σ
が,標準正規分布に従うので,95%信頼区間では,

X'-1.96σ/√(n)<=μ<=X'+1.96σ/√(n)   (標本平均Xバーをかけないので,X'とした)

で,正規分布(Zの値)で推定できます。

が,

普通はσ^2がわからないのです。それで,σ^2の推定量としてσ'^2を使います。   (σハットが書けないのでσ'とした)
すると,
√(n)(X'-μ)/√(σ'^2)
は,自由度n-1のt分布に従うのです。

したがって,95%信頼区間は,
X'-t(n-1)(0.025)√(σ'^2/n)<=μ<=X'+t(n-1)(0.025)√(σ'^2/n)
のようにt分布を使う推定になります。

なお,nが大きくなればt分布は標準正規分布に近くなります。

中心極限定理は,「母集団が正規分布でなくても,nを大きくすれば,その平均の分布は正規分布に近づく」というものです。
したがって,
「もし、母集団が正規分布に従っているならば,標本の大きさnの大小に関わらず、その平均の分布は正規分布」になります。
だから,
「母平均を区間推定する場合、zの値を用いて推定してもいい」のですが,区間推定する場合,もう1つ必要なものがあります。母集団の分散σ^2です。これがわかっていれば,
√(n)(X'\-μ)/σ
が,標準正規分布に従うので,95%信頼区間では,

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Q負の二項分布の名前の由来

負の二項分布は、何故「負の二項分布」と呼ばれているのでしょうか。

昔どこかの教科書で、二項分布で何かのパラメータを負に拡張することで得られる、と読んだ覚えがある(うろ覚えですが)のですが、式をいじくってもいまいち分かりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

下記でどうぞ
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/neg-nikou.html

Q統計学に関する質問です。よく「確率変数Xは~分布に従う」と表現されるこ

統計学に関する質問です。よく「確率変数Xは~分布に従う」と表現されることがあります。今までは深く考えずにスルーしてきたのですが、「分布に従う」とは具体的にどういう意味でしょうか?大変初歩的な質問で恐縮ですが、噛み砕いての説明、宜しくお願いします。

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渋いところをツッコミますねえ。

簡単に答えてしまうと、「確率変数Xは~分布に従う」とは、
「~分布」を表す累積確率分布関数 F(X) が存在して、
X が X≦A の範囲の値をとる確率が F(A) であることです。
これが、統計学的な答え。単純ですね。

では、「X が X≦A の範囲の値をとる」とは、どういうことか?
それ以前に、確率変数とは何か?
…この辺の問題は大変ややこしくて、
考えだすと、数学と哲学の境界が曖昧になるし、
春日三球が不眠症になってしまいます。(古すぎて伝わらないか)

そこで、数学的には、「確率変数」を定義することを放棄して、
累積分布関数または確率密度関数そのものを指す比喩的表現だと
開き直ってしまうのです。その意味では、
「確率変数Xは~分布に従う」とは、「~分布の累積分布関数 F を
引数つきで書き表すとき、引数に X の文字を使って F(X) と書く」
というだけのことです。

Q負の二項分布の積率母関数

負の二項分布の積率母関数がわかりません(><;)
二項分布の積率母関数だとM(t)=(pe^t+(1-p))^m と表せますよね??こんな風に負の二項分布の積率母関数も表せないでしょうか??
独立な確率変数X、Yに関して、再生性を証明したいのですが・・・
どなたかよろしくお願いします!!m(_ _)m

Aベストアンサー

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2,...)
=Σ(-1)^k*C[-n,k]*p^n*(1-p)^k*e^((n+k)t)  (C[-n,k]は一般の二項係数)
=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(1-p)^(x-n)*e^(xt)  (x=n+k)
∴f(x)=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(-1+p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)
となる。二項係数を
C[-n,x-n]=(-n)(-n-1)…(-x+1)/(x-n)!
=(-1)^(x-n)*C[x-1,n-1]
と変形すると、見慣れた式になる。
f(x)=ΣC[x-1,n-1]*p^n*(1-p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2...続きを読む

Q統計学 正規分布

ある工場で生産された電球の寿命がN(1180,400)に従うとき、無作為に抽出された25個の電球の寿命の平均値が1170時間を超える確率はいくらか。
また、無作為に抽出されたn個の電球の寿命の平均値が少なくとも0.95の確率で1175時間を超えると言えるnの値はいくらか。

という問題なのですが、
「無作為に抽出された25個の電球の寿命の平均値が1170時間を超える確率」は、0.99379
と出ましたが、
「無作為に抽出されたn個の電球の寿命の平均値が少なくとも0.95の確率で1175時間を超えると言えるnの値」の計算過程で分からなくなりました。

最終的に 5=1.64√(400/n) という方程式ができると思うのですが、
この左辺の5はどこからきているのでしょうか。

Aベストアンサー

|1175-1180|=5。

もとの形に戻せば

(1175-1180)/√(400/n) = -1.64

ではないでしょうか。
-1.64は標準正規分布の95%点ですね。


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