4次以下整式、f(1+x)+f(1-x)=2x^2

整式 f(x)は，

f(1+x)+f(1-x)=2x^2,
f(3)=-3f(-1)

を満たしており，方程式 f(x)=0 は2重解をもつ．
このような整式で次数が4次以下のものを求めよ、という問題なのですが、

答えは、x(x-1)^2 と (2±√3)/4 * (x-1)(x+3∓2√3)^2　とのことです。
どうか教えていただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/04/16 01:05

f(x) が 4次だと

f(1+x)+f(1-x) = 2x^2
とならないので f(x) はたかだか 3次. またこの式から f(1) = 0 であることと f(x) = 0 が 2重解を持つことから f(x) は
a(x-1)^2
a(x-1)^2(x-b)
a(x-1)(x-b)^2
のいずれか. これらに対して条件 f(3) = -3f(-1) を考えると最初のやつは不適, 残り 2つに対しては b が求まる. で再度 f(1+x)+f(1-x) = 2x^2 に戻せば a が決まる.

やってることは本質的に #1 と同じだけど連立方程式を回避.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

スムーズな場合分け、よく分かりました。

お礼日時：2011/04/17 15:20

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2011/04/15 23:16

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e　とおいて、

f(1+x)+f(1-x)を計算すると、４次の項が消えないので、a=0であることが分かります。
つまり、f(x)の次数は３次以下です。

f(x)=0 の2重解をaとすると、
f(x)=(x-a)^2(bx-c)
と表すことができます。

f(1+x)+f(1-x)=2x^2　にx=0を代入すると、
f(1)+f(1)=0
より、
f(1)=0

f(1+x)+f(1-x)=2x^2　にx=2を代入すると、
f(3)+f(-1)=8
f(3)=-3f(-1)　であることから、
f(-1)=-4
f(3)=12

以上から、
(1-a)^2(b-c)=0　　　　(1)
(-1-a)^2(-b-c)=-4　　　(2)
(3-a)^2(3b-c)=12　　　(3)

(1)式から、a=1またはb=cとなりますが、これを(2)(3)に代入して連立方程式を解けば求める答がでてきます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

スムーズな解法、よく分かりました。

お礼日時：2011/04/17 15:19