三次方程式の解と係数の関係で教えてください。

問題　三次方程式の解をα、β、γとするときα＾３＋β＾３＋γ＾３－3αβγを求めよという問題
の解答で
α＾３＋β＾３＋γ＾３＾－3αβγ＝（α＋β＋γ）ｘ（α＾２＋β＾２＋γ＾２ーαβーβγーγα）
という解説が説明もなくでてくるのですが、どういう考え方でそんなに簡単にでてくるのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/17 22:25

説明も無く出てくるのは、説明のしようが無いからです。

筋道立てて考えれば出てくるような簡単な話ではなく、
こういった式変形を思いつくには、ある程度の経験と勘が
必要です。私なら、こんな風に考えてみます。

α+β+γ と αβ+βγ+γα と αβγ を使って
α^3+β^3+γ^3-3αβγ を組み立てるために、
まず、どうやって３乗を作るかを考える。
試しに、安直な (α+β+γ)^3 を展開してみると　　←[1]
(α+β+γ)^3 = (α^3+β^3+γ^3)+3(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)+6αβγ
となることから、
(α^3+β^3+γ^3)-3αβγ=(α+β+γ)^3-3{αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α}-9αβγ
と判る。右辺の { } 内も対称式だが、
α+β+γ と αβ+βγ+γα と αβγ を使って表せないか。
(α+β+γ)(αβ+βγ+γα) を展開してみると　　←[2]
(α+β+γ)(αβ+βγ+γα) = {αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α}+3αβγ
となって、運よく
{ } = (α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ
が見つかる。これを上の式へ代入して、
(α^3+β^3+γ^3)-3αβγ=(α+β+γ)^3-3{(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ}-9αβγ
この式の右辺は、解と係数の関係から値が求められる。

[1][2] の箇所は、やってみたら上手くいったというだけで、
そうやればよいと最初から判っていた訳ではありません。
しかし、上記の流れに沿ってみると、自然な試行錯誤だと
思えるのではないでしょうか。こういう計算を繰り返して、
経験と勘を磨いてゆけばよいのだと思います。

α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα はどうしたかって？
忘れましょう。
質問中の因数分解をパッと思いつくならば鮮やかですが、
思いつかなくても、上記のように解けます。
公式暗記なんて無意味です。

この回答へのお礼

別解でわかりやすく教えていただいてありがとうございました。

お礼日時：2011/04/19 00:22

No.1 ベストアンサー 回答者： tomokoich 回答日時： 2011/04/17 21:31

α^3+β^3+γ^3-3αβγ

=(α+β)^3-3αβ(α+β)+γ^3-3αβγ
={(α+β)^3+γ^3}-{3αβ(α+β)+3αβγ}
=(α+β+γ){(α+β)^2-(α+β)γ+γ^2}-3αβ(α+β+γ)
=(α+β+γ){(α+β)^2-(α+β)γ+γ^2-3αβ}
=(α+β+γ)(α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα)
という公式があります

この回答へのお礼

よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2011/04/19 00:20