(1+x)^n≧1+nx+n(n-1)x^2/2

大学受験の勉強をしています。

この式は極限を求めるときによく、使うように誘導問題がついているんです。
例えば…

この式をつかってnr^nのn→∞でｌｒｌ<１を求めなさい

のときに
1/lrl=１+ｘ
と置き換えてこの不等式を使って解きます。

もう何回もこのような形式の問題をやってるので解けるんですが…
意味があまりよくわからず解いています。

この不等式は何の意味をもっているのか、どうして置き換えると求まるのか教えてください。
置き換えることによってどうなるのか…


お願いします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/17 23:56

最近、「意味」を訊くのが流行りだなあ。

そもそも「意味」に数学的意味は無い…と思うのだけれど。

その不等式の場合も、意味を問うより先に、
任意の x については成立しないことを確認して、
それが成立する x がどんな範囲かを考えてみたほうがいい。

意味や解釈よりも、何が起こっているかを正確に把握する
ことのほうが、数学の理解につながるように思える。

その上で、「意味」など自分でデッチアゲれば済む。

No.2 回答者： yamutya 回答日時： 2011/04/18 05:45

質問の後半は

　公式や定理では汎用性を持たせるために代入できる部分を文字変数で表現されている
だからそこを任意（もちろん代入条件があることが多い　整数とか　正値とか）に置き換えただけです。

質問の前半が本質的な疑問でしょう。

これは二項定理（ａ＋ｂ）＾ｎの展開等式
（ａ＋ｂ）＾ｎ＝ａ＾ｎ＋…＋ｎＣｒａ＾ｒ＊ｂ＾（ｎ－ｒ）…＋ｂ＾ｎ
の右辺前半の３項だけを抜き出した式ですね。
右辺前半３項だけを抜き出したから等号が不等号になっています。

ｎ→∞　は全体を見渡すのはしんどい作業です。
だから議論に必要な右辺前半３項だけと左辺を吟味しているのですね。
もっと細かい判断が必要な時は右辺の４項目がくっついてきたり、
もっと荒い議論ですむ場合は右辺の２項までですむこともありますね。

この不等式は左辺の下限を吟味するときに
その論述に必要な部分まで（ここでは３項）を切り取って利用するという　意味をもっています。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/18 08:37

不等式が成り立つようにするには、

x に予めどんな条件を課しておけばよいか？

x＞0 を考えれば、二項定理を使って証明することもできる。

｜x｜ があまり大きくなければよい…とザックリ捉えれば、
この式が x=0 近傍での近似評価なのだ
という「意味」を与えることができる。

いづれにせよ、意味は後づけで、
たいせつなのは、何が起こっているかを理解することだ。