数学における時間の定義は？

自然科学では時間は宇宙の始まりとともに始まり（過去方向に有限）、一方方向へ増加し、現在から未来方向へは未定（有限か無限かも未定）ということになっているようです。
仏教哲学（アビダルマ）では、時間は未来から過去へ流れるとする考え方もあるそうです。

さて、何事にも、万人が認める定義をしないと始まらない数学では時間も定義があるのでしょうか。
ｔ１＜ｔ２で、かつｔ２＜ｔ３のときにはｔ１＜ｔ３である、などと言うと思いますが、そのｔの定義が知りたいです。
ひょっとして、自然科学とは相反する事ですが、数学では過去方向に無限の値を持ちうるものとして時間が定義されているのでしょうか？

質問１：数学には時間の定義がありますか？
質問２：時間の定義がある場合、定義からして過去方向に無限の値は取れないということが自明でしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/19 22:00

物理と数学の界面において、時間(物理学上の概念)を実数(数学上の概念)でモデル化することはありますが、

そのこと自体が物理学に属する内容であって、数学上に「時間」を定義した話など聞いたことがありません。
「時間」を定義することで、何か面白い数学が展開できるのでしょうか？
「時間」に限らず、「古い靴下の臭い」や「二日酔いの胸焼け」なども数学用語として定義されていませんが、
平素あまり不便を感じることはないです。

A No.1 補足 の内容ですが、スカラーと１次元ベクトルを区別するのは、数学教育か数理哲学の人だけです。
数学と普通の関わりかたをする人は、その両者を区別しません。同型性は、数学では重要な考えです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

たしかに「古い靴下の臭い」に関してはあまり不便を感じませんね。

しかし、高校の数学で、dx/dtがどうした、こうしたなどと、教わりましたが、誰も定義しないでｔを使っていたようです。数学の教師は定義をしていたのかもしれませんが、それに関して質問した学生もいなかったような記憶があります。

時間を実数でモデル化することが誤解の元なのかもしれませんね。
実世界の時間は実数に全単写しないのに、一旦、モデル化してしまうと実数の性質が時間の性質だと勘違いし、実数を扱えば時間を扱った気になる。

ホーキンスという人は、時間をモデル化するのに実数では不足で、複素数に拡張してしまい、虚数時間などと言いただしまいたが、これなど現実を観察せずに数学上でモデルをいじくりまわす例ですね。

私は50歳過ぎまで、時間は無限、過去方向にも未来方向にも無限だと無邪気に信じておりました。このような無邪気な誤解の原因は、無配慮に時間を実数でモデル化したことだと反省しています。数学が悪いのではなく、自然科学が数学を道具として使うときに注意するべき配慮を怠っているという反省です。

中学生ぐらいのときには、（ｍv２乗)/２　という運動のエネルギーの式を習い,
V=平方根（２E/ｍ）に変換し、エネルギーを増やせば速度は幾らでも増加すると勘違いしたものです(笑)。

最近の自然科学によれば、時間は連続量では無く、離散的なものかも知れないと言われています。実数で写像するのではなく、半開区間における自然数で写像するのが最も理にかなっていると理解される時代がくるかもしれませんね。

数学の話題からそれて申し訳ありませんでした。

お礼日時：2011/04/20 10:31

No.4 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/04/19 21:23

> 数学は真実とは無縁のところで、公理から万人が認めざるを得ない体系を築く学問でしょう？　

> であれば、諸説を認めるわけには行かないでしょう？

いいえ。
どのような公理を採用するかは自由だし、極端な話どのような述語論理を許すかも自由に選択していいです。

なので、「時間」という概念をどのように定めるかも自由です。
あとはその概念を導入していろいろ嬉しければ広まるでしょう。


> 個人的ですが、[-137億年、∞）の半開区間における一次元ベクトル量と定義したいとこです。

「年」が定義できていません。「一次元ベクトル量」も定義できていません。
特に「嬉しい」概念ではなさそうです。

この回答へのお礼

数学として共通の定義が無いのであれば、どうぞ、お構いなく。

こちらで、自由にやらせていただきます。

お礼日時：2011/04/19 21:41

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/04/19 16:50

万人が認める時間の定義は物理にも数学にもないと思います。

時間理論はいろいろあるみたいですが、TOE はひょっとすると
人間の理解力を超えた彼方にあるのかも

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

物理学は仮説を出しながら自然界の真実を追求する学問です。したがって諸説紛々たることを良しとします。

しかし、数学は真実とは無縁のところで、公理から万人が認めざるを得ない体系を築く学問でしょう？　であれば、諸説を認めるわけには行かないでしょう？

お礼日時：2011/04/19 17:38

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/04/19 15:11

質問１：純粋数学には時間そのものの定義は，ありません．

＞＞ｔ１＜ｔ２で、かつｔ２＜ｔ３のときにはｔ１＜ｔ３である、
＞＞などと言うと思いますが、そのｔの定義が知りたいです。

ｔ１，ｔ２，ｔ３が時間であるとすると，これは数学以外の物理学などの概念で，「ｔ１＜ｔ２で、かつｔ２＜ｔ３のときにはｔ１＜ｔ３である」は，数学を道具として利用した結果で得られた結論という事になり，単に，ｔ１，ｔ２，ｔ３を数学的な数値として扱っているに過ぎません．

純粋数学は，あくまでも，定義，公理，演算規則，定理，命題，証明，などの集まりで構成されているだけのものです．

数学の分野は広大ですから，いろいろな数学の分野で「時間」という用語は頻繁に出てきます．各分野で「時間」の用語を定義して用いています．したがって，「時間」も，各分野で，それぞれ異なった概念になります．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

個人的ですが、[-137億年、∞）の半開区間における一次元ベクトル量と定義したいとこです。

四次元時空の座標系では、他の三次元はスカラー量と定義して構わないのですが、時間だけはベクトル量と定義すると便利な気がします。

それぞれの分野で定義すればよいのですね。

お礼日時：2011/04/19 17:32

No.1 回答者： nishiyan_x 回答日時： 2011/04/19 14:07

時間をスカラーであることは自明の理です。

これ以上のことは説明するには教えてgooの容量はあまりにも容量が小さすぎる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

少なくとも自然科学方面では方向性をもったベクトル量の様に扱う場面があるのだから、自明ではありません。
誰かが時間はスカラー量であると定義して、その定義を尊重するのは構わないですけど、、、。

お礼日時：2011/04/19 17:28