問1:x^2+y^2-4x-5+K(x^2+y^2-2x-2y-3)=0は2つの交点を通る直線または円を表すことを示せ。


問2:2円 x^2+y^2-4x-5=0、x^2+y^2-2x-2y-3=0について2つの交点と原点を通る円の方程式を求めよ。

問3:円x^2+y^2+2x-4y-4=0と直線7x-y+2=0の2つの交点を通り、さらに点(-1,2)を通る円の方程式を求めよ。


問4: 2円x^2+y^2-x+3y-1=0、x^2+y^2+6x-3y+5=0の交点と原点を通る円の方程式を求めよ。



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A 回答 (2件)

問1:


x^2+y^2-4x-5+K(x^2+y^2-2x-2y-3)=0
これはKがどんな値をとろうとも成立するには、Kについての恒等式であればよい。
x^2+y^2-4x-5=0, x^2+y^2-2x-2y-3=0
が同時に成立する(x,y)を求めると
(x,y)=(-1,0),(2,3)
つまり与式の曲線は、これらの2つの定点A(-1,0),B(2,3)を通る曲線群である。
この曲線群を調べると
K=-1のとき、-2x+2y-2=0 つまり 直線y=x+1 の方程式になる。
K≠-1のとき
 x^2 +y^2 -2{(2+K)/(K+1)}x -2{K/(K+1)}y -(5+3K)/(K+1)=0
整理すると
{x-[(2+K)/(K+1)]}^2+{y-[K/(K+1)]}^2=[5K^2+12K+9]/(K+1)^2…(☆)
これは中心((2+K)/(K+1),K/(K+1)),半径[√(5K^2+12K+9)]/(K+1)の円群の方程式であることが分かる。なお、円の直径の最小値は交点A,B間の距離=√(9+9)=3√2である。

問2
2円 x^2+y^2-4x-5=0、x^2+y^2-2x-2y-3=0の2つの交点A,Bは問1で既に求めた。
これらの交点A,Bを通る円が問1の方程式だから、問1の方程式で原点を通るものを求めればよい。問1の式に原点(0,0)の座標を代入すれば
 -5-3K=0 ∴K=-5/3
これを問1の方程式から導出した(☆)の式に代入すれば求める円の方程式が得られる。
 ∴{x+(1/2)}^2+{y-(5/2)}^2=13/2=(√26/2)^2


問3
円x^2+y^2+2x-4y-4=0 と直線 7x-y+2=0の2つの交点を通る円の方程式は
 x^2+y^2+2x-4y-4+K(7x-y+2)=0…(◆)
であるから、この円の方程式が点(-1,2)を通るようにKを定めればよい。
点の座標を代入すると
1+4-2-8-4+K(-7-2+2)=0
∴K=-9/7
(◆)に代入して整理すると
 ∴{x-(7/2)}^2+{y-(19/14)}^2=2025/98={45(√2)/14}^2

問4
交点を通る方程式は
 x^2+y^2-x+3y-1+K(x^2+y^2+6x-3y+5)=0…(▲)
と置ける。これが原点(0,0)を通るから代入すると成り立つ。
 -1+5K=0 ∴K=1/5
(▲)の式にKを代入して整理すれば求める円の方程式が得られる。
 {x+(1/12)}^2+(y+1)^2=145/144=(√145/12)^2
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1)与式は(K+1){(x-1)^2+(y-1)^2-1}-2x+2y-6=0 と変形できます。

これがKの値に関わりなく成立するにんは中括弧内とその外の式がそれぞれゼロでなくてはならないですよね。前者は円、後者は直線です。

2)原点円の方程式を (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 と置けば未知数はa、b、rの3つです。交点と原点を通るという条件をkの式に代入すれば式が3つできますから解けますね(^_^)

3)2番と同じです、原点が(-1,2)に変わっただけ。

4)これも同じ。
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